《函数模型及其应用》习题

《函数模型及其应用》习题（1）一、选择题1．某商店某种商品（以下提到的商品均指该商品）进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为（）A．45元 B．55元C．65元 D．70元[答案]D[解析]设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500－（x－50）×10＝1000－10x件，故月利润为y＝（x－40）·（1000－10x）＝－10（x－40）（x－100），∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>40,1000－10x>0))，∴40＜x＜100，∴当x＝70时，y取最大值，故选D.2．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为（）A．B，A，C B．A，C，BC．A，B，C D．C，A，B[答案]B[解析]A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为eq\f－50,50)，所以100元一年到期的本息和为100（1＋eq\f－50,50)）≈（元），收益为元；C种债券的利率为eq\f(100－97,100)，100元一年到期的本息和为100（1＋eq\f(100－97,97)）≈（元），收益为元．3．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则（）A．a＝b B．a＞bC．a＜b D．a、b的大小无法确定[答案]B[解析]一月份产量为a（1＋10%），二月份产量b＝a（1＋10%）（1－10%）＝a（1－1%），∴b＜a，故选B.4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点[答案]D[解析]从图可以看出，甲、乙两人同时出发（t＝0），跑相同多的路程（S0），甲用时（t1）比乙用时（t2）较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是（）A．3.5m B．3mC．2.5m D．2m[答案]C[解析]建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a（x－1）2＋2.∵抛物线过点A（0,1）∴将（0,1）点代入方程得a＝－1，∴y＝－（x－1）2＋2.令y＝0，得x＝1＋eq\r(2)，x＝1－eq\r(2)（舍），故落在水面上的最远点B到O点距离为（1＋eq\r(2)）m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.6．某市原来民用电价为元/kw·h.换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价为元/kw·h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200kw·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量（）A．至少为82kw·hB．至少为118kw·hC．至多为198kw·hD．至多为118kw·h[答案]D[解析]①原来电费y1＝×200＝104（元）．②设峰时段用电为xkw·h，电费为y，则y＝x×＋（200－x）×＝＋70，由题意知＋70≤（1－10%）y1，∴x≤118.答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw·h.二、填空题7．某老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率%.试计算五年后本金和利息共有________元．[答案][解析]根据题意，五年后的本息共5000（1＋%）5＝（元）．8．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数：T（t）＝at2＋bt＋c（a≠0），其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C，则T（t）＝________.[答案]－3t2＋t＋60[解析]将t＝－4，T＝8；t＝0，T＝60；t＝1，T＝58分别代入函数表达式中即可解出a＝－3，b＝1，c＝60.三、解答题9．某物品的价格从1966年的100元增加到2006年的500元，假设该物品的价格年增长率是平均的，那么2012年该物品的价格是多少？（精确到元）[解析]从1966年开始，设经过x年后物价为y，物价增长率为a%，则y＝100（1＋a%）x，将x＝40，y＝500代入得500＝100（1＋a%）40，解得a＝，故物价增长模型为y＝100（1＋%）x.到2012年，x＝46，代入上式得y＝100（1＋%）46≈635（元）．10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲的水只有eq\f(a,8).[解析]由题意得ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)，设再过t分钟桶甲中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n（t＋5）＝eq\f(a,8)，所以（eq\f(1,2)）eq\f(t＋5,5)＝（e－5n）eq\f(t＋5,5)＝e－n（t＋5）＝eq\f(1,8)＝（eq\f(1,2)）3，∴eq\f(t＋5,5)＝3，∴t＝10.∴再过10分钟桶甲的水只有eq\f(a,8).11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明．[解析]在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制．所以这个问题应该有几种情形：（1）若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于1＋2＋10＋200＝213人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客．（2）若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为14000÷5%＝280000.所以由此可得：（1）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多．（2）当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于14000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是14000元，优惠较大．（3）当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的优惠大．12．某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%（x＜20）．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？[解析]只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q（1＋20%）5（1＋x%）5,5年后再重栽的木材量为2Q（1＋20%）5，画出函数y＝（1＋x%）5与y＝2的图象，用二分法可求得方程（1＋x%）5＝2的近似根x＝，故当x＜%时就考虑重栽，否则让它继续生长．*13.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售，问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？[解析]（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n＝kx＋b（k＜0），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝300k＋b,75＝225k＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝300))，∴n＝－x＋300.y＝－（x－300）·（x－100）＝－（x－200）2＋10000，x∈（100,300]∴x＝200时，ymax＝10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．（2）由题意得，－（x－300）·（x－100）＝10000×75%∴x2－400x＋30000＝－7500，∴x2－400x＋37500＝0，∴（x－250）（x－150）＝0∴x1＝250，x2＝150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.14．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组（一组制课桌，另一组制椅子），能使完成全部任务最快？[分析]制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．[解析]设x名工人制课桌，（30－x）名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，∴制作100张课桌所需时间为函数P（x）＝eq\f(100,7x)，制作200把椅子所需时间为函数Q（x）＝eq\f(200,10(30－x))，完成全部任务所需的时间f（x）为P（x）与Q（x）中的较大值．欲使完成任务最快，须使P（x）与Q（x）尽可能接近（或相等）．令P（x）＝Q（x），即eq\f(100,7x