《三角函数模型的简单应用》设计曾宇燕

高一数学《三角函数模型的简单应用（二）》教学设计福州金山中学曾宇燕一、教学构想在学习了三角函数的图象及其性质后，学生对其实际应用比较陌生，对其中的数学意义和蕴含的数学思想的理解并不深刻；当面对三角函数解决实际问题的陌生背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难；尤其是明确问题的实际背景、分析问题的复杂条件，考虑问题的实际意义，及对问题的解的分析等都会有一定的困难．因此在教学时，首先创设情境，通过观看钱塘江大潮的视频及有关百度百科相关的三角知识等情景，激发学生的求知欲；在审题环节，通过有针对性的引导，让学生认真阅读，抓住关键的词和句子，弄清题意；注意帮助学生在分析问题中提取其中的数量关系；借助散点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系及他们的变化规律；解决问题时，使学生体会数形结合的思想，并详细讲述函数解析式的求解过程；同时注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行具体的分析。本节课拟在（DIS）网络实验室进行，利用数字化教学平台，引导学生主动参与学习，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，使学生充分体会数学建模的思想，进一步感受数学在现实生活中的作用，培养学生进行自主学习的能力。二、学情分析由于三角函数模型的简单应用是三角函数知识的综合应用，也是对第一章节三角函数知识的总结与提升，这一知识点也是新课标教材的亮点之一。本节内容将数学建模的一般思想方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后续知识的学习起到引领的作用。对学生而言，虽然平时有接触过相关数学应用的事例，但是对于本节所涉及的三角函数在实际生活中的应用是学生首次接触，如何突破是本节课的难点。尤其是学生还不懂的学习三角函数有什么用？因此本课的教学有一定的挑战性。从学生的知能状况来看，学生在本课之前已有三角函数的相关知识，在知识储备上已具备学习本节课程的条件。虽然我们学生的基础知识不扎实、理解能力较差，但对数学的学习还是比较重视，也肯学。从本课的学习内容来看，属于应用教学，对三角函数基础知识有较高的要求，同时本课中所涉及的建模思想对学生来说比较陌生，通过课堂上对例题的分析及教师适时的引导，学生会很快就会发现其中的规律所在。基于以上的分析，为了增强“三角函数模型的简单应用”的直观性、高效性，本节充分运用具体的事例，以教师为主导、学生为主体，通过“创设情境—提出问题—分析问题—解决问题”的教学模式，恰当地使用背景材料，设置一些与课程内容相关的情景问题，使探究过程更加高效，使学生获得用三角函数知识解决实际问题的思想。三、教学目标1、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的全过程；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；2、让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的“建模”思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力；3、通过切身感受数学建模的过程，体验数学在实际问题教学中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。四、教学重点难点重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。五、教学支持条件教具：专题网站、几何画板、互动白板、粉笔、黑板根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以专题网站为平台，变抽象为直观；同时辅之以几何画板的功能，为培养学生的数学探究精神与提高数学思维提供支持．六、教学过程设计（一）创设情境—激发兴趣课前我们已经利用网站平台巩固了三角函数图象及其性质的有关知识点，实际上，在现实生活中，三角函数作为一个具有周期变化规律的数学模型，能解决很多问题。本节课，我们将一起探讨它在数学建模方面的具体应用。同学们，看过钱塘江大潮吗？在海水的潮起潮落中也蕴含着数学知识。师生活动：共同观看钱塘江大潮视频。【设计意图】通过视频演示，让学生体会“数学来源于生活，生活中处处有数学”。为学习本节探究问题埋下伏笔。（二）提出问题—观察数据【背景材料】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与洋底的距离），你能否根据上述所给的数据，判断该船何时能安全进入港口？在港口能呆多久？问题1：观察表格中的数据，你能发现什么规律吗？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，主要从变量间的关系、水深的最值、水深随时间变化有无规律等方面去研究．【设计意图】通过观察表格中的数据，先发现水深有变化，尽可能发现或猜想这种变化呈现一种周期性变化规律，为用散点图来表示这些数据做好铺垫．问题2：什么是吃水深度、安全间隙？货船要想安全进港，水深至少需要多少米？师生活动：教师学生共同操作几何画板，通过动画模拟，了解什么是吃水深度和安全间隙，引导学生回答安全水深即为吃水深度+安全间隙。【设计意图】读题，通过几何画板动态演示让学生更生动的理解题中的有关概念，并对问题作出初步的判断。问题3：结合前面的分析，安全水深出现在什么时间段？师生活动：教师提问，学生思考、回答，再次观察数据，只能得到时间的大致范围，无法求出具体时刻，引导学生需要对数据进行处理。【设计意图】再次观察数据，对问题作出初步的解释。（三）分析问题—选择函数模型问题4：如何画出这些数据的散点图？描完点连线，观察会是什么图形？师生活动：教师提问，学生思考、回答，以时间为x轴，水深为y轴，作出水深关于时间的散点图。学生作图，教师指导，选择两个学生在白板中画图，展示两种具有代表性的图象。一种是曲线型的三角函数图象，一种是直线型的分段函数图象。【设计意图】引导学生根据由散点图连成的曲线呈周期性的特点建构适当的函数模型，培养学生的观察、分析、推理、判断、抽象概括等能力.问题5：两种图象分别代表什么函数模型？是否都体现数据的周期性规律？如何选择模型？为安全起见，港口工作人员又在该季节每天的不同时刻测出时间与水深的关系表如下：时刻1:005:008:0011:0013:0017:0020:0023:00水深（米）现在也请同学们把这些点描在图像当中，会发现什么问题？师生活动：对两种图象进行分析，都体现了周期性规律。教师通过操作几何画板，加入新测量的八组数据，分析得出用三角函数模型拟合数据更为准确；【设计意图】为更好地数据拟合提供事实依据，引导学生根据散点图的特点选择适当的函数模型。（四）分析问题—确定函数解析式问题6：如何求出函数中的值，从而确定函数模型的解析式呢？师生活动：学生动笔计算，并将答案通过投票的形式提交到网站平台，教师实时监控完成情况。师生通过问答、教师在白板上写出解题过程的形式，结合图象，求出参数的值。【设计意图】让学生结合函数图象以及已知表格中的数据，求出各参数的值，体会“数形结合”的数学思想．采用网站的投票功能，实现学生活动的交互性，教师可以实时了解学生答题情况，同时学生也可以了解其他同学的作答情况。（五）解决问题我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型来刻画，下面利用该模型解决有关货船进出港的一些实际问题.问题7：（进出港时间问题）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4

m，安全条例规定至少要有

m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？师生活动：教师通过以下问题，引导学生探究.

（1）货船能够进入港口所需要满足的条件是什么

？（实际水深≥安全水深）

（2）怎样用数学表达式来表述这一条件？（）

（3）若把不等式两端看成是两个函数，分别作出它们的函数图象，用数形结合的思想解决问题，那么满足我们条件的解是图象的哪部分？

（4）结合图象，货船应该选择什么时间进港，什么时间出港？（5）如何解不等式？（6）如何描述结论？学生操作几何画板，回答上述问题；教师板书解题过程。【设计意图】通过问题串，帮助学生弄清楚题目的意思，引导学生建立函数模型，借助几何画板，利用数形结合思想解决问题.得出答案后，通过检验它是否与实际意义相符，对答案的合理性做出解释.过渡语：刚才的问题中，货船从进港、在港口停留，到后来离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，卸完货后离开港口，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，那么吃水深度如何变化？这样以来，当实际水深和安全水深都随时间发生变化的情况下，我们又该如何选择进出港时间呢？

问题8：（卸货时间问题）若某船的吃水深度为4

m，安全间隙为

m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时

m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？师生活动：教师启发学生类比、思考，组织学生讨论如下问题：

（1）“必须停止卸货”的含义是什么？需要满足什么条件？（2）安全水深随时间的变化的解析式是什么？

（）（3）如何解不等式？（4）如何描述结论？学生在这些问题的引导下思考探究，对于要求解的不等式，学生根据刚才解题的经历，相互讨论寻求解决的途径—数形结合。【设计意图】引导学生用函数模型刻画货船安全水深与时间的关系，将实际问题转化为不等式问题.

让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.问题9：在船的安全水深正好等于港口水深时，停止卸货行吗？为什么？正确的结论是什么？师生活动：在教师的引导下，学生独立思考、讨论，然后给出回答：货船应该在6时之前驶离港口.否则就不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.【设计意图】将所得的数学解释转化为实际问题的解释.

（六）课堂小结—深化认识问题10：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？（师生一起归纳）

（1）通过本节课的学习，学会了数据处理的基本方法和步骤：

①观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；

②根据已知数据绘制散点图；

③用光滑的曲线连接散点图；

④通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；

⑤求函数模型的解析式.（2）在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等数学思想方法．【设计意图】让学生通过思考和回答问题，归纳总结建立三角函数等数学模型解决实际问题的基本步骤，理清解决实际问题的基本思路，渗透数学思想方法，培养学生的归纳总结能力和语言表达能