类特殊三角形,它的三边具有一种特定的关系,该关系称

直角三角形是一类特殊三角形，它的三边具有一种特定的关系，该关系称为勾股定理，早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用弦图证明了这一定理。2002年，世界数学家大会在北京召开，大会会徽上的图形就是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理所做的“弦图”。用它作为会徽是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定。2002年世界数学家大会会徽第18章勾股定理18.1勾股定理相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了一个有趣的结论：ABCSA+SB=SCacbⅠⅡⅢACBSⅠ+SⅡ=SⅢ如图是一个行距、列距都是1的方格网,在其中作出一个以格点为顶点的直角三角形ABC，然后,分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。三个正方形面积SⅠ、SⅡ、SⅢ之间有怎样的关系？用它们的边长表示，能得到怎样的式子？ACBbcaⅡⅠⅢACBcbaⅠⅡⅢ在行距、列距都是1的方格网中，再任意作出几个格点直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如图。并以SⅠ、SⅡ、SⅢ分别表示它们的面积。ACBbcaⅡⅠⅢACBcbaⅠⅡⅢ观察左图,并填写:SⅠ=

个单位面积,SⅡ=

个单位面积,SⅢ=

个单位面积。观察右图,并填写:SⅠ=

个单位面积,SⅡ=

个单位面积,SⅢ=

个单位面积。991891625每一个图中的三个正方形面积之间的关系是：SⅠ+SⅡ=SⅢ；用它们的边长表示，就是a2+b2=c2。ACBbcaⅡⅠⅢACBcbaⅠⅡⅢ下面每一个图中的三个正方形面积之间有怎样的关系？用它们的边长表示。∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab

S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4·ab+c2

=c2+2abaaaabbbbcccca2+b2=c2∴=∴a2+b2=c2a2+b2+2abc2+2ab证明：abc2、证明:s大正方形=c2s大正方形=4×ab+(b-a)2

=2ab+b2-2ab+b2=a2+b2

∵s大正方形=s大正方形

∴c2=a2+b2

赵爽图aabbcc有趣的总统证法:美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话∴a2+b2=c2勾股定理（gou-gutheorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b,

斜边为c，那么a2+b2=c2

即

：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．abc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理！千古第一定理数与形的第一定理导致第一次数学危机数学由计算转变为证明是第一个不定方程毕达哥拉斯定理勾股定理在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cbac2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a2

勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abc1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.运用勾股定理时应注意：⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边；⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。例1.解答：(2)a=5，c=13，求b.(1)a=3，b=4，求c；例2.已知直角三角形的两边分别为8和10，求第三边的长.解:若斜边长为10，则第三边长为：若一直角边长为10，则第三边长为：答:第三边长为或6.(2)直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5.()×练习：1.判断题：(1)直角三角形三边分别为a,b,c，则一定满足下面的式子：a2+b2=c2()×2.如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４CBA应用知识回归生活受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？4米3米构造直角三角形ABC34？解：在Rt△ACB中，根据勾股定理，得：AB2=AC2+BC2=16+9=25所以，AB=5树折断前的高度为：AB+AC=9（米）例2.现有一楼房发生火灾,消防队员决定用消防车上的云梯救人,如图.已知云梯最多只能伸长到10m,消防车高3m,救人时云梯伸至最长,在完成从9米高处救人后,还要从12m高处救人,这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米?(精确到0.1米)3m9m10m3mOABCDE3m9m10m3mOABCDE解:设要向楼房靠近x米，即AD=xm∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10，BC=9-3=6.∴AC=又∵在Rt△DCE中,∠DCE=90°.解方程得(不合题意,舍去)答:要再向楼房靠近约3.6米.ACDB例3.已知:如图,在中,两直角边AC=5，BC=12.求斜边上的高CD的长.解：2.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米。

BAC106(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。(2)若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？A1C1

2

2.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米。

BAC106(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。(2)若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？A1C1

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3.直角三角形