第07章 应力和应变分析 强度理论

第七章应力和应变分析强度理论重要考点1、已知平面应力状态，求斜截面上应力、主应力、主平面、

主切应力及主切平面；2、用图解法求解平面应力状态；3、用解析法求出平面应变状态的主应力及主应力方向；4、已知点的各应变分量求该点的应力状态；5、利用各强度理论对构件进行强度校核；6、应变比能的概念考察以及相关计算。

前面我们研究了直杆在基本变形时的强度计算，如：σF1.轴向拉压：2.圆轴扭转：MeτFστ危险点处于单向应力状态或处于纯剪应力状态，相应强度条件为：[][]ttssmaxmax3.直梁弯曲：一.基本概念一点：微元（有结构，不同于数学点）应力：六面体各面上皆有应力（正，切）微元或单元体

（Element）

无穷小正六面体dx，dy,dz®0状态：分析：一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析。分布--均匀对应量--相等对面正应力邻面切应力yxz§

7.1应力状态概述

从受力构件危险点处截取一单元体，如果各侧面（一般为横截面）的上的应力均为已知，则单元体各截面上的应力情况代表一点的应力状态。abcdAFA二.应力状态的研究方法

利用静力平衡条件来分析单元体各面上的应力，是研究应力状态的基本方法。

过一点不同方向面上应力的集合称之为这一点的应力状态。应力

哪一点？在哪一个面上？

那个面在哪个方位？要指明说明：单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力。三.主应力和应力状态的分类说明:

1.一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,这样的单元体称为主单元体；2.三个互相垂直的主应力分别记为1

,2

,3

且规定按代数值大小的顺序来排列,即。（1）单向应力状态：只有一个主应力不为零。（2）二向应力状态：有个二主应力不等于零。（3）三向（空间）应力状态：主单元体上的三个应力均不等于零。二向和三向应力状态称为复杂应力状态。三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪切应力状态特例特例材料力学◆

重要应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态ｐｌxsts（壁厚为t，内直径为d，t<<d，内压为p）ＤｐπD２４)Dp(xsｐｐｐ×Ｄ×lxstsxsts承受内压薄壁容器任意点的应力状态:xybzacdefbxybneftyx§

7.3二向应力状态分析——解析法一、斜截面上的应力二.主应力和方位角主应力大小：主平面方位角：主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3主切应力所在的平面称为主切平面，主切平面的方位角为：主切应力为：2.切应力极值（主切应力）和方向即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°。这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆

或称为莫尔圆。§7.4

二向应力状态分析——图解法RC1.应力圆：2.应力圆的画法ADxyoADxyoDxyAx量取OA

=x，AD

=xy，得D

点。在

-坐标系内,选定比例尺。ADxy量取OB

=yBD´

=yx得D´

点。D'yxoDxyAxyBADxy连接DD´

两点的直线与轴相交于C点；以C为圆心,CD

或CD´为半径作圆。D'yxoDxyAxyBC3.应力圆与单元体的对应关系xyHncD(sx,txy)D´(sy,tyx)E（1）应力符号对应：单元体上正号的正应力，在应力圆上位于纵坐标轴的右方，反之位于左方；使单元体有逆时针旋转趋势的切应力，在应力圆上位于横坐标轴的下方，反之位于上方。（2）点面对应：应力圆上任一点E的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力。3、几种对应关系xyHncD(

x

,

xy)ED′(

x

,

xy)（3）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。xyHncD(sx,txy)D´(sy,tyx)E§7.5

三向应力状态xyzo前面右侧面上面Y、Z

平面的定义类似。X平面：法线与X轴平行的平面。xyzo第一下标第二下标xy表示x平面上，沿y方向的切应力。第一下标表示切应力所在的平面。第二下标表示切应力的方向。t=txzzxt=tzyyzt=tyxxy因而独立的应力分量是6个根据切应力互等定理，在数值上有xyzo已知：受力物体内某一点处三个主应力1、2、3

。利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。D结论：三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。D该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标1最大切应力则等于最大的应力圆上B点的纵坐标。AB上述两公式同样适用于平面应力状态或单向应力状态,只需将具体问题的主应力求出,并按代数值123的顺序排列。§7.7

平面应变状态分析若构件各点的位移和应变都发生于同一平面内，则称为平面应力状态。复习§7.6

PoxyABdxdy1、任意斜截面上的应变以上两式相似。2、主应变和主方向3、切应变的极值，称为主切应变主切应变所在的面称为主切平面，主切平面的方位角为3、平面应变状态分析-图解法（应变圆）以线应变作为横坐标,而将(-/2)

作为纵坐标,便可绘出表示平面应力状态下一点处不同方向的应变变化规律的应变圆。§7.8广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律若微元体的三个主应力已知时，其应力应变关系可写成：式中分别为沿主应力方向的线应变。由于主应力单元体在三个坐标平面内的切应变等于零，故主应力方向的线应变称为主应变。§

7.9复杂应力状态的应变能密度一、应变能密度的定义：二、应变能密度的计算公式:1、单向应力状态下，物体内所积蓄的应变能密度为单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度（比能）。2、三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度应为将广义胡克定律代入上式,经整理得用Vv表示单元体体积改变相应的那部分比能，称为体积改变能密度。用Vd表示单元体形状改变相应的那部分比能,称为畸变能密度。应变能密度等于两部分之和。空间应力状态下单元体的畸变能密度为应变能密度等于两部分之和。（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂。材料破坏的两种类型（常温、静载荷）1、屈服失效:材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。2、断裂（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂。§7.10

强度理论包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。第二类强度理论

—以出现屈服现象作为破坏的标志。包括：最大切应力理论和畸变能密度理论。第一类强度理论

—以脆断作为破坏的标志。（一）最大拉应力理论（第一强度理论）强度条件：1[]（二）最大伸长线应变理论（第二强度理论）强度条件:（三）最大切应力理论(第三强度理论)强度条件:（四）畸变能密度理论（第四强度理论）强度条件：试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例1：一点处的平面应力状态如图所示。已知解：（1）斜面上的应力（2）主应力、主平面主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：（3）主应力单元体：主应力方向：主应力方向：例2：求图示单元体的主应力及主平面的位置(单位：MPa)。解：(1)主应力坐标系如图(3)AB的垂直平分线与sa

轴的交点C即是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆(2)在坐标系内画出点taBAs2s1sa(MPa)(MPa)O20MPaCs3(4)按图计算心标

和半径

OC=(A横坐标

+B横坐标)/2=70(5)计算主应力及方位角s3s1s2BACsata(MPa)(MPa)O20MPaEDF(5)计算主应力及方位角(6)在图上画主单元体、主应力4532532595150°

102AB例3

：简支梁由18号工字钢制成。其上作用有力P=15KN，已知E=200GPa,=0.3。求：A点沿00，450，900方向的线应变0.50.50.25PA00450900解：zA0.50.50.25PA00450900zA(-)yA,Iz,d查表得出中性轴的静矩为图示面积对0.50.50.25PA00450900A0.50.50.25PA004509000.50.50.25PA00450900A例4：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出线应变。现测得轴向应变