第4章平面力系的简化和平衡方程

建筑力学ArchitecturalMechanics

主讲：杜留记河南城建学院土木工程系力学教研室第四章平面力系的简化与平衡方程4.1平面任意力系向一点的简化·主矢和主矩4.2平面任意力系简化结果的讨论4.3平面任意力系的平衡条件·平衡方程4.4平面平行力系的平衡方程4.5物体系的平衡问题4.6考虑摩擦的平衡问题平面任意力系：作用在物体上各力的作用线都分布在同一平面内，既不汇交于一点，也不完全平行。工程实例：屋架、吊车：平面结构承受平面力系。P1P2FAxFAyFDDABDCP145AP2(a)B空间对称结构承受对称的外力，可简化为平面问题。如汽车受力。QPBAXAYAYBQPBAOOO—简化中心F’n

mn

m3

F’3F’2m2LOF3F2F1FnO平面任意力系平面汇交力系平移平移合成力合成力偶矩合成F’1m1平面力偶系O’§4-1平面任意力系向一点的简化·主矢和主矩主矩的大小：LOOyxα指向：由R’x、R’y符号定。与x方向所夹锐角α方向平面任意力系平面汇交力系力平面力偶系力偶矩建立坐标系xy主矢的大小：§4-1平面任意力系向一点的简化·主矢和主矩§4-1平面任意力系向一点的简化·主矢和主矩简化中心：O点称为简化中心。主矢R′：力系中各力的矢量和；和简化中心的位置无关。主矩MO：平面力系中各力对于简化中心的矩的代数和称为该力系对简化中心的主矩，其一般随简化中心的位置的改变而变化。结论：平面任意力系向作用面任一点简化后，一般得到一个力和一个力偶。这个力的力矢量等于力系中各力的矢量和，即力系的主矢；力偶的矩等于各力对简化中心之矩的代数和，即力系对简化中心的主矩。例在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有

F1、F2、

F3

、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N，F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。F1F2AyxF360°F430°解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7NR′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°-80cos30°=-106.1NR′=√(R′

x)2+(R′

y)2=122.4Ncos=60.7/122.4,=60.27°cos=(-106.1/122.3)︳,=29.9°RMAMA=∑Mo（Fi）=(-60cos45°-60*cos60°-60sin60+80sin30°)*1=-84.4N·m§4-1平面任意力系向一点的简化·主矢和主矩此时，简化结果与简化中心位置无关。此时，简化结果与简化中心位置有关。2、1、合力偶原力系力偶系其合力偶矩原力系汇交力系合力2、3、1、4、§4-2平面任意力系简化结果的讨论LOOdOO1即：合力矢等于主矢；合力作用线在简化中心O那一侧取决于主矢、主矩方向；合力作用线到O点的距离由h确定。原力系为平衡力系。3、4、原力系合力力偶等效表示OO1h减去平衡力系§4-2平面任意力系简化结果的讨论合力矩定理LOOOhO1hOO1R为原力系合力R’’＝R’＝R

平面任意力系的合力对于作用面内任一点的矩等于力系中所有各力对于该点的矩的代数和。§4-2平面任意力系简化结果的讨论例试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离。AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解:主矢Rx=20cos60o+18cos30o=25.59kNRy=25+20sin60o-18sin30o=33.32kN§4-2平面任意力系简化结果的讨论求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30oR'MA

=1×25+2×20sin60o-3×18sin30o

=32.64kN·mMARd§4-2平面任意力系简化结果的讨论§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

如果平面任意力系向任一点简化后的主矢和主矩都等于零，表明简化后的汇交力系和附加力偶系都自成平衡，则原力系必为平衡力系。所以，主矢和主矩都等于零是平面任意力系平衡的充分条件。反之，如果主矢和主矩中有一个量不为零，则原力系可合成为一个合力或一个力偶；如果主矢和主矩都不为零，则原力系可进一步合成为一个合力。这种情况下，力系不平衡，所以，主矢和主矩都等于零又是力系平衡的必要条件。

平面任意力系平衡的充要条件是:力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。即：平面任意力系平衡的充要条件：主矢，主矩即：所以：平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。有独立三个方程，只能求解三个未知数这是平面任意力系平衡方程的基本形式§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

二矩式：三矩式：x轴不得垂直于A、B连线。A、B、C三点不共线。三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题。究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结果。§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为：1）选—选取研究对象。应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力。2）画—画受力图。3）建—建立坐标系，原点可任意，使坐标轴与较多的未知力平行。4）列—列平衡方程。注意：矩心应取在多个未知力作用线的交点上。5）解—解平衡方程。6）答—答案，必要时作出讨论或说明。§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

－Pdcos45例

两根直径为d的圆钢，每根重P=2kN，搁置在槽内。忽略接触面的摩擦，求A、B、C三点的约束力。O1O2ⅠⅡPPABC45o解：3个未知量NCNBNA解方程。（略）研究对象：两根圆钢NA－NC＝0NB＝0－P＝0

NC

dsin45°O1xy－P§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

ACBPFC45yx解得：FC＝28.28kN例已知如图AC＝CB＝l，载荷P＝10kN。设梁和杆的自重不计，求铰链A的约束约束力和杆DC所受的力。DCF’DF’CPABD45解：研究对象：AB梁。AXA＋FCcos45＝0

YA＋FCsin45－P＝0

FCsin45l－P2l＝0ll由作用反作用公理，CD杆受压力28.28kN

XA＝－20kNYA＝－10kN(负号表明约束力方向与图示相反)CXAYA§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

PABCD45yxllAXAYAFCC45PBDl如果写出对A、C两点的力矩方程和对x轴的投影方程：如果写出对A、D、C三点的力矩方程？思考！§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

例

水平梁长为4m，重P=10kN，作用在梁的中点C。承受均布载荷q=6kN/m

，力偶矩m＝8kNm。试求A、B处的约束力。P4m2mqmCBA45°解：研究对象：水平梁AB。BXAYARB－8解得：qx2§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

平面平行力系：各力的作用线相互平行的平面力系

。若取y轴与诸力作用线平行，必恒有或平面平行力系有2个独立的平衡方程，可以求解2个未知数。AB连线不能平行于各力作用线。平面平行力系的平衡方程xy§4-4平面平行力系的平衡方程

例已知F=40KN，M=150KNm。求支座A、B处的反力。ABFM解：研究对象：AB梁.

画受力图.6m3mABFMFBFAMA=0-M+FB

·

6-F·9=0FB==85KNMB=0-FA·

6-M-F·3=0FA==-45KN§4-4平面平行力系的平衡方程

§4-5物体系的平衡问题

物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统.PACBQQBqEDCA讨论物体系统平衡时，不仅要考虑系统的外力，还要考虑系统内部各物体之间的相互作用力（内力）。解静定物体系统平衡问题的一般步骤:1)分析系统由几个物体组成；2)按照便于求解的原则,适当选取整体或个体为研究对象进行受力分析并画受力图；3)列平衡方程并解出未知量。*.一般需取多次研究对象；受力图正确；定路径。§4-5物体系的平衡问题

①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。③建立平衡方程式，求解未知量：a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。d)求解未知量。§4-5物体系的平衡问题

静定与超静定问题

对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目.则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题。若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题。§4-5物体系的平衡问题

静定问题超静定问题§4-5物体系的平衡问题

CB三角拱由两部分组成，可列出6个独立的平衡方程，是静定结构，可解。例已知三角拱的重力及载荷和几何尺寸，求A、B的约束力。QXBYBXCYCXAYAPACBQQXBXAYYB研究对象的选取方案：（1）AC和BC（2）整体和BC（3）整体和AC分析受力ACPQY’CX’C§4-5物体系的平衡问题

XBXAYAYB解一（1）研究对象：整体YBYA（2）研究对象：BCCXB代入（1）式，可解得XA。XCBXBYBCYCQPACBQQ§4-5物体系的平衡问题

PACBQQ（1）研究对象：AC（2）研究对象：BC方程含XC’、YC’方程含XA、YA方程含XA、XC方程含XC、YC方程含XB、YB方程含XB、XCPQACY’CX’CXAYAXCBXBYBCYCQ6个方程、6个未知力，联立可解研究对象不同计算量相差很大。解二§4-5物体系的平衡问题

解：YC=0.5kNmA=-4kNmYA=3.5kNXA=0例

已知m=10kNm，q=2kN/m，求A、B、C三处的约束力。qCAB1mm1m1m1mCBABmqqYAXAmAYCYCYBXBYBXBYAXAmA全面进行受力分析，选取合适的研究对象XB=01）研究对象：BCYB=1.5kN2）研究对象：整体§4-5物体系的平衡问题

例三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知P=20kN,均布荷载q=4kN/m.求铰链支座A和B的约束反力.1m2m2m3mABCqPXAYAXBYB1）研究对象：整体解：mA(Fi)=0-4×3×1.5-20×3+4YB=0YB=19.5kNYi=0YA-20+19.5=0YA=0.5kN§4-5物体系的平衡问题

2）研究对象：BCXCYC1m3mBCPXBYBmC(Fi)=0-1×20+2×19.5+3XB=0XB

=-6.33kNXA=-5.67kNXi=04×3+XA+XB=0整体分析：§4-5物体系的平衡问题

摩擦是自然界最普遍的一种现象，绝对光滑而没有摩擦的情形是不存在的。不过在许多问题中，摩擦对所研究的问题是次要因素，可以略去不计，但对于另外一些实际问题，摩擦却是重要的甚至是决定性的因素，必须加以考虑。例如，重力坝依靠摩擦防止在水压力作用下可能产生的滑动；带轮和摩擦轮的传动等。另外一方面摩擦阻力会消耗能量，产生热、噪声、振动、磨损，特别是在高速运转的机械中，摩擦往往表现得更为突出。两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势时，彼此在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用。这种现象称为摩擦，这种阻碍作用，称为摩擦阻力。§4-6考虑摩擦的平衡问题

摩擦应用§4-6考虑摩擦的平衡问题

摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦摩擦干摩擦湿摩擦滑动趋势滑动滚动趋势滚动接触面间无润滑介质接触面间有润滑介质§4-6考虑摩擦的平衡问题

1、静滑动摩擦力1）静滑动摩擦定律APQ

重量为P的物体放在粗糙的固定水平面上,受到一个水平拉力Q的作用。当力Q增加到某个数值QK时,物体处于将动未动的临界状态。此时静摩擦力达到最大值Fm

,称为最大静摩擦力。APQFNFs当时Xi=0Q-Fs=0F

s=Q

静摩擦力的大小由平衡条件确定,并介于零和最大静摩擦力之间,方向与物体相对滑动趋势的方向相反。fs—静摩擦系数无量纲§4-6考虑摩擦的平衡问题

2）动滑动摩擦定律

f—动滑动摩擦因数，它无量纲，与接触物体材料和表面情况有关。动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。通常动摩擦系数小于静摩擦系数。

动摩擦力的大小与接触物体间的正压力成正比，方向沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向。实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关，不同材料物体，动摩擦系数随相对滑动速度变化规律也不同，当滑动速度不大时，动摩擦系数可近似认为是个常数。§4-6考虑摩擦的平衡问题

2、摩擦角与自锁现象1）摩擦角称为摩擦角

（angleoffriction）物体处于临界平衡状态时，全约束反力和法线间的夹角称为摩擦角。FN

—正压力F

—静摩擦力FR—全约束反力（全反力）φ—全反力与接触面法线的夹角§4-6考虑摩擦的平衡问题

（不滑动的条件）自锁：当主动力合力的作用线在ψ角内，无论主动力Q多大，都能使物体保持平衡，这种现象称为自锁。摩擦锥：如果物体与支承面的静摩擦系数在各个方向都相同，则摩擦角范围在空间就形成为一个锥体，称为摩擦锥。FQFR2）自锁现象自锁条件§4-6考虑摩擦的平衡问题

斜面自锁条件螺纹自锁条件§4-6考虑摩擦的平衡