第七章-弯曲内力

第7章弯曲内力

7.1.1平面弯曲的概念弯曲：举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根铁丝（或绳子），在没有铁丝或强有力的情况，一般都喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这种形式的变形我们就称为弯曲变形。7.1工程实例2、定义：

当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为弯曲。3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向对称面4、平面弯曲（对称弯曲）

一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。7.1.2梁的计算简图一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找出它的计算简图，而便于进行计算。

、支座的几种形式1、固定端：

这种支座的简化形式如图所示，它使梁截面既不能移动，也不能转动，它对梁的端截面有三个约束，相应地，梁的端截面受有三个支反力作用。例如：打入地下的木桩，游泳池的跳水板支座等都可简化成固定端支座。

2、固定铰支座：

这种支座可简化成如图所示的形式，它使得梁截面不能沿水平方向和沿垂直方向移动，但不能限制它绕铰的中心转动。因此，固定铰支座对梁有两向约束，相应地，梁受到两个支反力作用。例如：下图所示的桥梁的左端支座。

简图约束反力跳台跳板3、可动铰支座：该支座的简化形式如右图所示，它只能限制梁截面沿垂直于支座面的方向移动，因此，这种支座对梁仅有一个约束，相应地，该截面处就只受一个支反力作用。例如上图桥梁的后端就可简化成为可动铰支座。

约束反力简易桥梁二、载荷的简化一般情况下，载荷简化后的结果不外乎两种：一种是集中力，另一种是分布力，如图所示：F1F2分布力一般分为均布和非均布两种（这些我们在绪论部分详细介绍过，在此就不再详细分析了）

注：这里所讲的集中力和分布力，包括集中力偶和分布力偶，它是一个广义的概念。

三、静定梁的基本形式：

相应于不同的支座形式，静定梁可分为三种形式：简支梁，外伸梁，悬臂梁。

悬臂梁7.2剪力和弯矩、概念：

下面我们通过一个例题来说明剪力和弯矩的概念如图所示，一个简支梁，其上分别作用着两个集中力F1=F，F2=2F的作用，a=1/3l现在要我们求梁某一截面上的内力。解：分析，以前我们在拉压，剪切和扭转部分曾经讲过，无论对何种杆件，受到何种外力的作用，要我们求横截面上的内力时，都采用截面法，在这里也是一样。(一)、求支反力RA

，RB由：

(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）由上图可知：要保持左半部分的平衡，在截面m-m上必须有一个方向向下的力Q.由

——（a）

xFRAQM同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ

由

——（b）

Q——因与截面相切，故称之为剪力，是与横截面相切的分布内力系的合力。Ｍ——由于它能使梁发生弯曲，故称它为弯矩，与横截面垂直的分布内力系的合力。讨论:Ｑ在数值上，等于截面以左所有外力在梁轴垂线(Ｙ轴)上投影的代数和。外力符号规定：外力绕截面（力与截面间的梁）顺时针旋转为正；或者左上右下（左端向上，右段向下的外力）为正。Ｍ在数值上，等于截面以左所有外力对截面形心的力矩的代数和。外力符号规定：外力对截面的矩，使力与截面间的梁向下凹曲为正；或者左顺右逆（左段的力矩顺时针，右段的力矩逆时针）为正。上面我们是以左段为研究对象计算截面m-m上内力的，如果我们以右段为研究对象，用相同的方法也可求得截面m-m上的内力Q和Ｍ，并且可以发现二者同上述求得Q和Ｍ在数值上是相等，但方向相反。为了使上述两种算法得到的同一截面上的弯矩和剪力，非但数值上正好相等而且符号也一致，因此有必要对二者进行正、负号的规定：、剪力的正负号的规定：剪力绕截面（所截取的梁）有顺时针旋转趋势为正，反之为负。二、Q、Ｍ的符号规定：2、弯矩的正负号的规定：口诀：凹口向上为正，凹口向下为负。7.3剪力图与弯矩图一、概念：

从前几节的分析中，我们可看出：在一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为x的函数，即：

二、剪力图和弯矩图的绘制传统的方法一般都是根据剪力、弯矩方程来绘制剪力和弯矩图，下面我们通过具体例题来分析剪力和弯矩图的具体绘制方法。

——剪力方程

——弯矩方程

（7—1）例7—1Fab/L解：1、求支反力RA

、RB得：

由

2、建立坐标系如图所示，求解梁的弯矩方程：FabRARB3、根据剪力方程作剪力图由(a)式可知：在AC段内，Q=常量，且为正值，故剪力图在AC段内为一在x轴上方的水平直线，同理可知在CB段内剪力图为一在x轴下方的水平直线。如图所示。

AC段：

（0<x<a）

（0<x<a）

(a)(b)CB段：

（a<x<L）

（a<x<L）

(c)(d)4、根据弯矩方程作弯矩图由<b>式可知，在AC段内，

为x的一次函数，故AC

段内，弯矩图为一条斜直线，因而只要确定AC段的两个端点的弯矩值就可作出AC段的弯矩图，同理可得CB段的弯矩图如图所示。

例7—2：

qLRARBqL/2qL/2qL2/8+-Q图M图解：求支反力由于结构和载荷都对称于跨度中点，故可直接得出：建立坐标系如图所示，求剪力、弯矩方程（用截面法）（0<x<l）

（0<x<l）

(a)(b)根据剪力方程作剪力图由（a）式可见：

为x的一次函数，故剪力图为一斜直线，因而只需求出斜直线的两个端点的数值，即可作出剪力图。

根据弯矩方程作弯矩图：由（b）可知：为x的二次函数，故弯矩图为一抛物线，由于x2的系数为负，故抛物线开口向下，由于抛物线为一曲线，为了画出的弯矩图比较精确，一般情况下，要多确定曲线的几点，如图所示：

刚架弯矩图的绘制：

例7—3：

FFFFaFa0.5Fa解：求支反力

计算内力时，一般应先求支反力，由于该图的A端为一自由端，无需计算支反力就可计算弯矩，故此步骤可省略。

作弯矩方程：如图所示：AC段的坐标原点取在A端。

CB段的坐标原点取在C端。

AC：

CB：

作图：注意：在绘制弯矩图时，我们规定为弯矩图画在杆件受压的一侧，即杆件弯曲变形凹入的一侧。由(a)(b)式可见：两段的弯矩方程均为斜直线，故只要定出A、C、B三点处的弯矩值即可作出弯矩图。7.4载荷集度剪力和弯矩之间的关系例7—2中，若将

的表达式对x取导数，就得到剪力

若将

对x取导数，就可得到载荷的集度q。这里

的表达式、

和

之间的这种导数关系并不只是上面例题中的特殊情况，而是一个普遍的规律，下面我们就一般情况来推导这种关系。一、

、

、

之间的关系：

如图所示为一在载荷作用下的梁

yxMF1q(x)ABxdxdxCM(x)Q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)q(x)

1.假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。

2.微分关系推导：

如图所示，从梁中取出一微段进行研究，一般情况下，我们都可以假设截面的内力为正值，由于dx很小，故可近似的认为dx上的

。

由

由

略去二阶微量：

（7—2）二、微分关系的几何意义（常数）即：剪力图为一平行于x轴的直线。

即：剪力图为一斜直线。1.微分关系的几何意义：

剪力图上某点处的切线斜率等于相应点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于相应点处剪力的大小。

即：弯矩图为平行于x轴的直线。

即：某一截面处弯矩图的斜率为零，在这一截面上弯矩为一极值。当C>0时，抛物线

凹口向上，反之向下。

不但可能发生在

的截面上，也有可能发生在集中力作用处，或集中力偶作用处，所以求时，应考虑上述几种可能性。

2.其它规律：

①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；

②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；

③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。在集中力作用处，剪力Q有一突然变化，即弯矩图的斜率有一突然变化，弯矩图上出现一转折点。外力情况Q图M图|Mmax|位置q(x)=0+-q(x)=CC<0+-C>0+-Q(x)=0剪力为零的截面剪力为零的截面剪力为零的截面剪力为零的截面集中力F作用处：突变，突变值为F有尖点剪力突变的截面集中力偶M作用处：不变突变值为M弯矩突变的某一侧3.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：1.求支反力；2.利用微分关系绘制Q图；3.根据Q图，利用微分关系绘制M图三、利用微分关系作剪力弯矩图例7—3

外伸梁AB承受荷载如