计算方法中的Lagrange插值

第三章插值法(InterpolationMethod)已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温举例这就是本章要讨论的“插值问题”当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在区间[a,b]上一系列节点x0…xm

处测得函数值y0

=f(x0),…,ym

=f(xm)，由此构造一个简单易算的近似函数g(x)

f(x)，满足条件g(xj)=f(xj)(j=0,…m)(*)这个问题称为“插值问题”插值问题的定义这里的g(x)

称为f(x)的插值函数。节点x0…xm称为插值节点,条件（*)称为插值条件，区间[a,b]称为插值区间x0x1x2x3x4

xf(x)g(x)最常用的插值函数是…?代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值本章主要讨论的内容插值函数的类型有很多种插值问题插值法插值函数一、插值问题解的存在唯一性？二、插值多项式的常用构造方法？三、插值函数的误差如何估计？代数插值3.2代数插值问题解的存在惟一性给定区间［a,b］上互异的n+1个点｛xj｝nj=0的一组函数值f(xj)，j=0，…,n，求一个n次多项式pn(x)∈Pn，使得pn(xj)=f(xj)，j=0,1,…，n.…...(1)令pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(2)

只要证明Pn(x)的系数a0,a1,…,an存在唯一即可为此由插值条件(1)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组

a0+a1x0+…+anx0n=f(x0)

a0+a1x1+…+anx1n=f(x1) ……. a0+a1xn+…+anxnn=f(xn)……(3)而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解a0,a1,…an

存在且唯一。通过解上述方程组(3)求得插值多项式pn(x)的方法并不可取.这是因为当n较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能是病态方程组）,当阶数n越高时，病态越重。为此我们必须从其它途径来求Pn(x)：不通过求解方程组而获得插值多项式基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数0(x),1(x),…,n（x),使pn(x)=a00(x)

+a11(x)

+…+ann（x)不同的基函数的选取导致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值n=1使得可见P1(x)是过(x0,y0

)和(x1,y1

)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl3.3Lagrange插值求n

次多项式使得已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求构造基函数

（2）与节点有关，而与f

无关这里每个lj(x)都是n次多项式，且由(1)式容易验证lj(x）满足j=0,1,…，n（1）对任意的pn(x)∈Pn，都有pn(x)=c0l0(x)+c1l1(x)+…+cnln(x)其中c0,c1,…,cn为组合系数可以证明函数组l0(x)，l1(x)，…,ln(x)在插值区间［a,b］上线性无关，所以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数，称为Lagrange插值基函数由Lagrange插值基函数满足(2)式可知，方程组变成因此得到插值多项式pn(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+…+f(xn)ln(x)记为Ln(x)＝f(xj)lj(x)称Ln(x)为n次Lagrange插值多项式

插值余项/*Remainder*/定理4.3.1若在[a,b]内存在,则在[a,b]上的n+1个互异的点，对f（x)所作的n次Lagrange插值多项式Ln(x)有误差估计Rolle’sTheorem的推论:若充分光滑，且存在使得证明：由于Rn(xi)＝0，i=0,1,…，n任意固定x

xi(i=0,…,n),考察(t)有n+2

个不同的根x0…

xn

x例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算

sin50，并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算利用sin50=0.7660444…利用x0,x1

作为插值节点的实