等参单元和数值积分

第4

章

等参单元和数值积分等参变换的概念和实现单元特性矩阵变换的内容和方法。本章要点实现等参变换的条件和等参元满足有限元收敛准则的条件。数值积分的基本思想及以高斯积分为代表的几种常用数值积分方法的特点。第4

章单元和插值函数的构造刚度矩阵数值积分阶次选择的原则，以及保证这些原则实现的具体方案。等参单元采用等参变换的单元等参变换的概念和单元矩阵的变换局部坐标单元几何形状规则几何形状规则的单元离散几何形状复杂的求解域比较困难规则形状的单元边界为曲线或曲面的单元转化等参变换等参变换单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数的变换整体坐标单元几何形状扭曲坐标变换等参变换等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换等参变换的概念和单元矩阵的变换坐标变换表示成插值函数的形式m

用以进行坐标变换的单元结点数形状函数，也是局部坐标表示的插值函数这些结点在总体坐标的坐标值函数插值形式相同坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即等参变换超参变换坐标变换结点数多于函数插值的结点数亚参变换坐标变换结点数少于函数插值的结点数单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换有限元中的单元体积内和面积内的积分希望在自然（局部）坐标内按规格化进行数值积分导数之间的变换G

和g

中常包含场函数对于整体坐标x,y,z

的导数单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换导数之间的变换J

称为Jacobi矩阵，可表示为单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换导数之间的变换是

J

的逆矩阵，可按下式计算单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换体积微元、面积微元的变换d,d,d在笛卡儿坐标系内所形成的体积微元是i,j,k

在是笛卡儿坐标x,y,z

方向的单位向量等参变换的概念和单元矩阵的变换体积微元、面积微元的变换在=常数(c)的面上面积微元在面上的dA

可以通过轮换，，得到单元矩阵变换单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换有限元中的单元体积内和面积内的积分变换到自然坐标系的规则化域内，分别表示成（在的面上，）其中体积微元、面积微元的变换单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换Jacobi矩阵体积微元、面积微元的变换二维问题单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换二个坐标之间的偏导数关系体积微元、面积微元的变换二维问题d

和d在笛卡儿坐标系内所形成的面积微元在=常数(c)的曲线上，在笛卡儿坐标内的线段微元的长度单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换面积或体积坐标不完全独立面积（体积）坐标与笛卡儿坐标之间的变换重新定义自然坐标三维问题面积或体积坐标不完全独立单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换面积（体积）坐标与笛卡儿坐标之间的变换二维问题重新定义自然坐标单元矩阵变换等参变换的概念和单元矩阵的变换面积（体积）坐标与笛卡儿坐标之间的变换积分限的改变L3=1L3=0234在L1=0

的表面上在34边上，L2=0在23边上，L1+L2+L3+L4=1，L1=0,L4=0，即L2=1-L3类似地，三维四面体1234，在L4=0

的表面上有L1=1-L2-L3等参变换的条件等参变换的条件和等参单元的收敛性等参变换为一种坐标变换，其一一对应的条件是Jacobi行列式不得为0。体积微元三维问题面积微元二维问题自然坐标的微元不是一一对应笛卡儿坐标的一个点不成立等参变换的条件等参变换的条件和等参单元的收敛性笛卡儿坐标中笛卡儿坐标中划分单元时，要防止出现的情况。等参变换的条件等参变换的条件和等参单元的收敛性=1=1=-1=-11423=1=1=-1=-1123，4正常情况结点3，4退化为一个结点该点等参变换的条件等参变换的条件和等参单元的收敛性=1=1=-1=-1142，3=1=1=-1=-11423结点2，3退化为一个结点该点在结点1，2，3，在结点4单元内存在连续变化推广至三维情况单元过分歪曲防止任意的二个结点退化为一个结点防止单元过分歪曲等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性协调性相邻单元在公共边（或面）应有完全相同的结点，同时每一单元沿这些边（或面）的坐标和未知函数应采用相同的插值函数。适当划分网格和选择单元，等参元完全能满足协调性条件。沿两个单元的边界坐标和变量都是二次变化沿三结点边坐标线性变化，变量二次变化沿二结点边坐标和变量都是线性变化变量协调变量不协调等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性完全性坐标和函数的插值函数表达式。要求插值函数中包含一次完全多项式。考虑C0

型单元所讨论单元的在自然坐标中满足此要求。等参变换笛卡儿坐标中单元？满足此要求否三维等参元等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性完备性线性变化场函数在单元各个结点的数值赋予各个结点参数，即有单元内得到线性变化的场函数，即能反映线性变化，满足完备性要求。等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性完备性单元不是等参超参单元，即单元完备性要求通常不满足亚参单元，即变结点单元插值函数构造方法等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性完备性亚参单元满足完备性要求。等参单元用于弹性力学问题的一般格式弹性力学问题系统方程其中母单元为，，

坐标系中的立方体单元系列等参单元用于弹性力学问题的一般格式母单元为，，

坐标系中的立方体单元系列（T

作用在=1的面）等参单元用于弹性力学问题的一般格式母单元为四面体的单元系列（T

作用在L1=1的面）自然坐标取体积坐标L1,L2,L3,L4令=L1,=L2,=L31---=L4则有二维问题的相应公式可由以上公式退化得到以上的积分公式一般采用高斯数值积分数值积分方法一维数值积分数值积分基本思路：构造一个多项式n个积分点的高斯积分可达2n-1阶的精度构造一个多项式使用近似称为积分点高斯积分方案中，是2n-1次多项式。如果是2n-1次多项式，积分结果将是精确的。为权系数数值积分方法二维和三维高斯积分在，，

不同坐标方向上，也可以选不同的积分点数，即根据具体情况采用不同阶的积分方案。二维三维等参元计算中数值积分阶次的选择保证积分精度数值积分阶次的选择影响计算的精度和工作量一维问题刚度矩阵的积分选择不当，会导致计算失败。积分阶次的选择原则插值函数N中多项式的阶次p微分算子L中导数的阶次m有限元中被积函数的阶次2(p-m)对于等参元假设为常数高斯积分的阶次n=p-m+1精确积分的多项式阶次n=2(p-m)+1满足刚度矩阵精确积分要求等参元计算中数值积分阶次的选择保证积分精度二维、三维问题积分阶次的选择原则按被积函数所有项分析例：二维4结点双线性单元假设单元为常数（单元形状为矩形或平行四边形）插值函数N中包含刚度矩阵被积函数中包含被积函数在

和

方向的最高方次为2阶高斯积分精确积分单元的不是常数更多积分点精确积分等参元计算中数值积分阶次的选择保证积分精度二维、三维问题积分阶次的选择原则类似地，二维8结点单元单元的为常数的条件下阶高斯积分精确积分单元的不是常数更多积分点精确积分高斯积分阶数等于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案，称之为精确积分或完全积分。按被积函数所有项分析等参元计算中数值积分阶次的选择保证积分精度二维、三维问题积分阶次的选择原则按插值函数中完全多项式分析常数高斯积分阶数4结点单元完全多项式阶数p8结点单元被积函数在

和

方向最高方次2(p-m)2(p-1)=0p=1p=22(p-1)=2高斯积分阶数n=p-m+1,

式中p是插值函数中完全多项式的方次；

m是微分算子中导数的阶次。这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案，称之为减缩积分。等参元计算中数值积分阶次的选择积分阶次的选择原则精确积分由插值函数中非完全项的最高方次所要求减缩积分往往比完全精确积分具有更好的精度有限元精度由完全多项式方次决定非完全的最高方次项并不能提高有限元精度，反而可能带来不好的影响。取较低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，其实质相当于用一种新的插值函数替代原来的插值函数，从而改善单元的精度。由最小位能原理建立的位移有限元，其计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度。选取减缩积分使有限元模型的刚度有所降低，因此有助于提高计算精度。保证积分精度等参元计算中数值积分阶次的选择积分阶次的选择原则保证结构总刚度矩阵K是非奇异的弹性力学问题系统方程引入强迫边界条件后，K必须是非奇异的。即K是满秩的秩就是系数矩阵中独立的行（列）数

K所有行（列）的系数都独立的矩阵秩的两个基本规则矩阵相加的秩规则矩阵相乘的秩规则等参元计算中数值积分阶次的选择积分阶次的选择原则保证结构总刚度矩阵K是非奇异的单元刚度矩阵计算公式弹性矩阵D

是方阵d

是应变分量数

二维问题d

=3

三维问题d

=6

轴对称问题d

=4应变矩阵B

是矩阵是单元的结点自由度数一般情况下

是高斯积分点的点数等参元计算中数值积分阶次的选择积分阶次的选择原则保证结构总刚度矩阵K是非奇异的如果系统的单元数为MN

是系统的独立自由度数，也就是刚度矩阵K的阶数刚度矩阵K

非奇异的必要条件假如未知场变量的元素数目超过全部积分点可能提供的独立关系数目，则矩阵K必然是奇异的。等参元计算中数值积分阶次的选择积分阶次的选择原则刚度矩阵K

非奇异的必要和充分条件均满足精确积分方案真实结构系统有别于刚体运动的位移模式大于零的应变能离散方案下的应变能精确积分方案进行精确计算总大于零K为正定，即必然是非奇异的。等参元计算中数值积分阶次的选择积分阶次的选择原则刚度矩阵K

非奇异的必要条件需要检查减缩积分方案8结点单元，给定刚体位移约束后，独立自由度数n=28-3=13K是奇异的。12435678y,vx,uo减缩积分方案计算刚度矩阵K

可能的最大秩为刚度矩阵K

非奇异的必要条件未被满足等参元计算中数值积分阶次的选择积分阶次的选择原则刚度矩阵K

非奇异的必要条件需要检查减缩积分方案12435678y,vx,uo减缩积分方案形成刚度矩阵K共有4个零特征值相应的4个特征位移模式中3个为刚体运动的位移模式1个为有别于刚体运动的位移模式，其表示为等