线性代数-N阶行列式

线性代数

南京工业大学理学院

信息与计算科学系程浩

线性代数是研究在日常生活里、在工程技术的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的代数问题的一门学科。介绍

这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，线性空间与线性变换等。1什么全国大学生数学建模竞赛？2数学建模竞赛在我校的情况？3该怎样参加数学建模竞赛？

线性代数是应用数学知识解决实际问题的一个强有力的工具。例如，在计算机图形处理中，通常将圆锥曲线写成下列矩阵形式简记为

如果将该圆锥曲线作（绕原点的）旋转变换（坐标系不变），设变换矩阵则变换后的圆锥曲线其方程即为

用矩阵方法来表示圆锥曲线的旋转变换，不仅表达简明，而且更便于计算机程序实现。线性代数这一门学科各章内容之间有较强的渐进关系；概念具有多样性；有些理论比较抽象；解决问题的方法富于变化；对本课程的这些特点，在以后的学习中应予以注意。章节内容

第一章.行列式

第二章.矩阵

第三章.向量组

第四章.线性方程组

第五章.矩阵的对角化

第六章.二次型*第七章.线性空间与线性变换第一章行列式

§1.1n阶行列式的定义

§1.2n阶行列式的性质§1.4克莱姆(Cramer)法则

§1.3n阶行列式的计算n阶行列式的定义、性质与计算

行列式是线性代数中的一个基本工具。在初等数学里已经介绍二阶、三阶行列式，现在为了研究n元线性方程组需要进一步讨论n阶行列式。讨论二阶、三阶行列式进一步介绍n阶行列式解决一类n元线性方程组求解问题本章逻辑顺序性质与计算为重点第一节n阶行列式

一.二阶、三阶行列式

研究二元线性方程组：

利用消元法，得两式相减消去2x

从二元线性方程组解的形式可以发现，如果引入记号（叫做二阶行列式）：

同理则其解可简洁地表示为：

其中解线性方程组由于方程组的系数行列式

又所以方程组的解为

解例1．类似地，如果在求解三元方程组

的过程中引入下列三阶行列式的记号

其实，这个三阶行列式的展开式的值也可以用下面的所谓主、副对角线法则得到：

＋－并规定其值为：

时，用消元法同样可得这个方程组的解其中

Dj（j=1,2,3）是用常数项b1,b2,b3替换系数行列式

D中的第j列所得的三阶行列式。

而且当三元线性方程组的系数行列式

例2．解

D==计算行列式

但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向一般n阶行列式推广。＋－事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对角线法则还可以按照依第一行展开的方法得到行列式的值。即的代数余子式：A11=其中A11,A12,A13

分别是第一行元素A12=A13=同理和＋－＋－＋－＋－＋而且不难看到，这与用主、副对角线法则得到的结果是一致的。例如，对例2中的行列式，有

A11=－1A12=10A13=－7从而行列式的值=1×(－1)+0×10+1×(－7)=－8与对角线法结果相同。1）可以用低阶行列式的值去定义高阶行列式的值；

即，从而从二、三阶行列式出发去定义一般的n阶行列式。

2）这样的定义方式应该具有某种内在的一致性。即，这样定义的各阶行列式应该有统一的性质。这一展开的规律启示我们：

二.n阶行列式

由n×n个数(i,j=1,2,…,n)组成的具有n行n列的式子并且规定其值为：1）当n=1时，D=定义1.叫做n阶行列式（Determinant），2）当n2时，D=其中

为行列式D的元素

的为行列式D的元素

并称

的

余子式，

代数余子式。

可知：n阶行列式的定义展式中，一定包含有n！个项，并且每一项都是来自于不同行、不同列的n个元素的乘积。（容易证明）从二、三阶行列式例3．计算n阶上三角行列式由行列式定义，按第一行展开时，第一行的以此类推，得

解

皆等于零，所以

的余子式

元素

？特别地，对主对角行列式，有

对上三角行列式与主对角行列式值的结论，我们以后常会用到。例4．计算n阶（副对角、下三角）行列式

解由n阶行列式的定义，可以得到

是n-1阶行列式，其中的余子式

它与n阶行列式

同样的形式，行列式的定义，有=等于

这个n行列式

的值并不总值得注意的是：反复利用（n阶）！！！例5．计算4阶数字行列式

解

==如果再将上述行列式按第四行元素展开，又得到

这个结果与按定义展开是一样的。

实际上，行列式不但可以按第一行元素展开，而且也可以按第一行以后的任一行或者任一列去展开，其结果都是相同的。即有下面的定理：n阶行列式D等于它的任一行（列）的元素与它们所对应的代数余子式乘积之和，和定理证明略去。

定理