缓冲算子、函数变换

本资源由会员分享，可在线阅读，更多相关《缓冲算子、函数变换（27页珍藏版）》请在人人文库网上搜索。

西华师范大学　　　 灰色系统研究所第三章　提高建模精度的常见数据处理方法----光滑序列、缓冲算子、函数变换

在建模过程中往往先通过看级比、级必偏差、光滑比来判断能否建模，若不能再选择恰当算子或变换处理后再看能否建模定义3.1.1　设序列X=(x(1), x(2), …,x(n)),我们分别称为序列的级比(stepwise ratio).级比偏差(stepwise ratio dispersion).

序列的级比偏差　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 更合理，因为原来只适应单调性相同时的比较，单调性相反时，不行。3.1　级比与光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)

定义3.1.1　设序列X=(x(1), x(2), …,x(n)),我们称为序列的光滑比(smooth ratio).3.1　级比与光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)定义3.1.2　(传统定义)若序列X满足123　　　　　　　　　　　<0.5

则称X为准光滑序列(quasi-smooth sequence).新定义:　相对低增长序列的光滑性(系统工程理论与实践09年8期)(魏勇)　　 相对于齐次指数序列的光滑性(Kybernite09年8期)

相对于非齐次指数序列的光滑性(美国会议09年10月)

比较原则: 光滑序列小好，级比接近1好，　　　　　　　　　级比偏差接近0好就相对于低增长序列的光滑性而言比较原则:X比Y好分三种情况单增之间

单减之间

一增一减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　也是统一形式《The　Jornal of Grey System》07年1、3期，08年1、4期。　　　 定理3.1.1　X为齐次指数序列的充分必要条件是,对于k=1,2, …,n,恒有(k)=const成立.

定义3.1.2　设序列X=(x(1), x(2), …,x(n)),若　　　　　　　　　　 则称序列X具有负(降）的灰指数规律　　　　　　　　　　 则称序列X具有正(升）的灰指数规律　　　　　　　　　　　　　　　　则称序列X具有绝对灰度为的灰指数规律(级比的绝对宽度) <0.5时,称X具有准指数规律(the law of quasi-exponent)

魏勇在南京会议提出:用级比的相对宽度与发展系数的绝对宽度作为事前检验方法(获奖的5篇论文之一)

反思:传统检验方法用于优化模型会出现可以建模的判定为不宜建模,将此文方法用于传统模型会将不宜建模数据判定为适宜建模数据3.2　　缓冲算子( buffer operator)3.2.1　 序列与算子(sequence operator)定义3.2.1　设系统行为数据序列为X=(x(1),x(2), …,x(n)) ,若k=2,3, …,n ,x(k)-x(k-1)>0则称X 为单调增长序列;1中反向不等号成立,则称X 为单调衰减序列;存在k,k1 ,有

x(k)-x(k-1)>0　　　 x(k1)-x(k1-1)<0则称X为振荡序列.设

M=max{x(k)|k=1,2, …,n},m=min{x(k)|k=1,2, …,n}称M-m 为序列X 的振幅.单调序列也有振幅（与物理振幅的区别。自由摆动时振幅的大小决定了振动的剧烈程度，用总变差或对应时刻的瞬时变差来刻划但外力强制振动则不然，往返的频率则是一个重要指标。定义3.2.2 设为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为其中为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列.要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X(0)的系统之变化规律的正确把握和认识,必须首先跨越障碍

.如果不事先排除干扰,而用失真的数据X 直接建模、预测，则会因模型所描述的并非由X(0)

所反映的系统真实变化规律而导致预测的失败。排除方法:用缓冲算子处理数据后建模公理3.2.1(不动点公理, Axiom of Fixed Points)

设X为系统行为数据序列,D为序列算子,　　　

则D满足　 x(n)d=x(n)(因新信息优先原理)公理3.2.2(信息充分利用公理, Axiom on Suffi-　

cient Usage of Information)系统行为数　　　　　　　　 据序列X中的每一个数据　

x(k),k=1,2, …,n,都应充分参与算子作用.公理3.2.3(解析化、规范化公理, Axiom of Ana-

lytic Representations)　任意的x(k)d，皆 　　　　　　　可由一个统一的x(1), x(2), …,x(n)的初等 　　　　　　　解析式表达。3.2.2　　缓冲算子公理(the axioms of buffer operator)　　　 定义3.2.3　设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算子,X经过算子D作用后所得序列记为　

XD=(x(1)d,x(2)d, …,x(n)d)称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列.

序列算子的作用可以进行多次,若D1,D2,D3皆为序列算子,我们称D1D2为二阶算子,并称

XD1D2=(x(1)d1d2, x(2)d1d2 , …,x(n)d1d2)为二阶算子作用序列.定义3.2.4　称上述三个公理为缓冲算子三公理(three axioms of buffer operators),满足缓冲算子三公理的序列算子,称为缓冲算子,一阶、二阶、 … …缓冲算子作用后的序列称为一阶、二阶、 … …缓冲序列(buffer sequences)。定义3.2.5　设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时:若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,我们称缓冲算子D为弱化算子;(是各瞬时速度还是仅平均速度?有歧义!)若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强化算子. 定理3.2.1　设X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子x(k)≤x(k)d k=1,2，…n(缩小差别)D为强化算子x(k) ≥x(k)d

k=1,2，…n(扩大差别)

直观意义:最左、最高点没有变,其他点被抬高

问题:　 抬得太高，改变了增减趋势，预测无效　　弥补办法：王正新论文《系统工程理论与实践》

定理3.2.2　设X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子x(k) ≥x(k)d

(缩小差别)D为强化算子x(k) ≤

x(k)d

(扩大差别)3.2.3　 缓冲算子的性质定理3.2.3　设X为振荡序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子(大变小, 小变大)

max{x(k)}≥max{x(k)d}　　 min {x(k)}≤min{x(k)d} (缩小差别)2　 D为强化算子(大变大,小变小)

max{x(k)} ≤

max{x(k)d}　　min {x(k)} ≥

min{x(k)d} (扩大差别)3.2.3　 缓冲算子的性质

问题:以整体振幅变小为标志，可能出现局部变化幅度增大的情形，注意《实变函数论》全变差思想，并应用此思维方法改造缓冲算子定义3.2.3　 缓冲算子的性质（续）存在缓冲算子：即缓冲算子除x(n)d=x(n)以外其余可以随心所欲规定！仍然满足公理2)、3）3.3.2　实用缓冲算子的构造举例定理3.3.2　设原始数据序列X=(x(1),x(2), …,x(n)),令XD=(x(1)d,x(2)d, …,x(n)d)

其中则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子(weakening operator).推论3.2.1　对于定理3.3.2中定义的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, …,x(n)d2)则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化算子。定理3.2.3　设原始序列和其缓冲序列分别为X=(x(1),x(2), …,x(n))XD=(x(1)d,x(2)d, …,x(n)d)其中x(n)d=x(n)　则当X为单调增长序列或单调衰减序列时,D皆为强化算子(strengthening operator).（缺点： x(n)d=x(n)不自然）推论3.2.2　设D为定理3.2.3中定义的强化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, …,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)则 D2 对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算子.(在强化基础上再强化!)定理3.2.4

设X=(x(1),x(2), …,x(n)),令XDi=(x(1)di,x(2)di, …,x(n)di)其中

x(1)d1=x(1),　 x(1)d2=(+1)x(1)

x(n)di=x(n)　　 i=1,2则D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列为强化算子. （缺点： x(n)d=x(n)仍然是不自然）推论3.2.3 对于定理3.2.4中定义的D1,D2,则　　　,　　　分别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子.　　现有缓冲算子的类型大部分是各种“平均”类型，在刘思峰教材,党耀国、关 叶青、王正新、谢乃明等人在《系统工程》、《系统工程理论与实践》、《控制与决策》、《统计与决策》、《中国管理科学》的文章。　　　万琴构造了近指数类型缓冲算子在英国、台湾杂志、国际会议上发表

　　　 李俊杰、苏海军构造了某种函数类型的缓冲算子在国际会议上发表　　 　　　　魏勇构造了几类含参量的缓冲算子,讨论强、弱缓冲的数字特征在《控制与决策》2010年2期上发表，如　　

弱化缓冲算子作用建模预测效果好，强化缓冲算子作用建模预测效果是否好,说不清楚!因为数据变化更剧烈了!甚至需要用优化模型才行!　　　　　　　　　　　　　几个其它算子

1.级比生成算子:

概念:级比　　　　　　　　　　　 ,光滑比关系:

级比生成序列就是用前后级比来推测空缺值的一种方法.(首项用后,末走后门用前,中间项前后折中)2.累加生成算子:3.累减生成算子:3.4.1　 传统数据变换

1.对数变换

2.开方变换

3.平移变换3.4　 数据变换3.4.2　 论文中出现的新数据变换

1.余弦函数变换

2.正切函数变换

3.负指数函数变换

4.幂函数变换

5.中心位似函数(序列)变换(王淑华)

3.4　 数据变换

6.公比单位化序列变换　　　　 （黄福勇)3.4　 数据变换(提高光滑性、缩小级比偏差证明方法)3.4.3

单增函数变换F(x)能缩小数据级比偏差

≤＝≥F(x)/x↘

单减函数变换F(x)能缩小数据级比偏差

≤＝≥F(x)x↗

缩小数据级比偏差≤＝≥提高