数量积向量混合

一、向量的线性运算1.向量的加减法(1)三角形法则(2)平行四边形法则2.向量与数的乘法4.两个向量的平行关系定理设向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使.二、空间直角坐标系向量

的坐标分解式：三、利用坐标作向量的线性运算设（为实数）则四、向量的模、方向角、投影1.向量的模：2.设有点，则其距离为MPQROzyx非零向量与三条坐标轴的正向的夹角方向角：r的方向角：设非零向量

r=(x,y,z)

方向余弦:方向余弦的特征:单位向量的方向余弦为:注意：设(2)3.向量在轴上的投影性质1性质2性质33.向量在轴上的投影.空间一点在轴上的投影:设，则数称为向量在轴上的投影，记作或.

则或记作过点作轴的垂直平面，交点即为点在轴上的投影.注意：设(2)

性质1(即),

其中为向量与轴的夹角;

性质2(即);性质3(即).

例9设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且,求OA在OM方向上的投影Prj.解

记

有于是Prj

第二节数量积向量积*混合积一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、向量的混合积一、两向量的数量积实例启示两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.注意:关于数量积的说明：证证数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：例1试用向量证明三角形的余弦定理记则有从而由及即得设在中，要证证：数量积的坐标表达式设由此可知两向量垂直的充要条件为夹角余弦的计算公式:两向量夹角余弦的坐标表示式：

二、两向量的向量积实例定义关于向量积的说明：//向量积符合下列运算规律：证////（1）（2）分配律：（3）若

为数：//设向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出例如，解例4设，，计算.解根据向量积的定义，三角形ABC的面积为例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积.由于因此于是例6设刚体以等角速度绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解刚体绕l轴旋转时，可以用在l轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住l轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向.设点M到旋转轴l的距离为a，再在l轴上任取一点O作向量r=OM，并以表示与r的夹角，那么设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知，v的大小为v的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即v

垂直于与r

；又v

的指向是使、r

、v

符合右手规则.因此有三、向量的混合积定义设混合积的坐标表达式（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：当组成右手系时，为正；当组成左手系时，为负.解式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.

性质2

对调混合积相邻两个向量，混合积改变符号。例如

三个向量和共面的充分必要条件为

例4已知不在同一平面上的四点O(0,0,0)、A(2,3,－1)、B(4,5,1)和C(1,－2,3),求以OA、OB、OC为棱所构成的四面体体积。

解作三向量和则

例5试证：空间四点和共面的充分条件

证作矢量