直角三角形的射影定理_第1页
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1.4直角三角形的射影定理1.射影点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。A´AANMNMABA´B´点和线段的正射影简称射影探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC∽∽∽射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。ABDC用勾股定理能证明吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可证得BC²=BD·ABABDCO例1

如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,DB=8,求CD,AC和BC的长.总结：已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。ABDC习题1.41.ABDC直角△ABC中已知:CD=60AD=25

求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2007广州一模)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于_____．BACDO5例2△ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD²=AD·DB求证：△ABC是直角三角形。ABDC证明:在△CDA和△BDC中,∽总结：

1、知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式——射影定理。

2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。

3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。

4、数学思想：方程思想和转化思想。例2如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，

DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。求证：CF·AC=CG·BC证明：∵CD⊥AB，DF⊥AC∴△CDF∽△CAD∴CF︰CD=CD︰AC∴CD2

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