高考试题的探究鳖臑几何体的试题赏析与探究文章修改稿

岳

峻

阮艳艳

安徽省太和县太和中学

2366002015

年湖北高考数学之后，广大考生感言：阳马、鳖臑，想说爱你不容易；中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.阳马、鳖臑是什么呢？1 试题再现

文科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖

PE

C臑.

在如图

所示的阳马

中，侧棱

底面

,且

,点

E是

的中点，

连接DE,

,

BE．(I)证明：DE

平面

.

试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，(II)记阳马

的体积为

，四面体

EBCD

的体积为

，求

的 值．

理科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图

，在阳马P

中，侧棱底

图2面

，且

，过棱

的中点E，作EF

交

于点F

，连接DE,

DF

,

,

BE.(I)证明：平面DEF．试判断四面体DBEF

是否为鳖臑，若是，(II)若面DEF

与面

所成二面角的大小为

π，求

的值． 2 鳖臑的史料2.1 史料阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而以名云。中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六2.2 阐释图3再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.3 试题赏析

图43.1 生僻字问题P

所具备的特点能够完全理字不会对考生解题带来困扰．鳖臑，并没闹！3.2 教材溯源北京师范大学出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修》的“第一章

立体几何初步”的“第六节

垂直关系”的例题（第

A

B页）：

图5如图

中，

为所在平面外一点，平面

。问：四面体中有几个直角三角形？题（第

页）：

中得出几组互相垂直的平面？让同学们更进一步认识这一特殊几何体。

进一步认识这一特殊几何体。

B图6教材紧接着在随后的例题

中就给出了以鳖臑为载体的几何命题的证明问题（第

页）：如图

，为⊙所在平面为

，

于

，C为⊙上异于，的一点。求证：平面

平面PBC。直中的判定定理以及性质定理的应用。3.3 设计理念普通高中数学课程标准中指出：数学是人类文化的重要组成部成正确的数学观。为此，高中数学教学应注重体现数学的文化价值，而

2015

年湖北卷就很恰当的体现了数学文化价值上的考查。命题者生的阅读能力、审题能力和应用能力，培养考生的创新精神，注重数学本质，提高数学素养，彰显命题组的博学与智慧．尤其是理科第19

题、文科第20

题，创新于数学史料的加工，以阳马和鳖臑为载体进行命题，来源于教材又囿于教材，彰显数学文化，数学味道正，文化气息浓，让“枯燥”的高考试卷多了几分生气和灵性，给人耳目一新的感觉．4 鳖臑几何体的性质的探究4.1 鳖臑几何体中的垂直关系

如图

，鳖臑几何体P

中，平面

，

A

B

，

AM

于M

，

PC于N

．（）证明：

平面；（）证明：

平面AMN

；（）证明：

AMN

；（）证明：

MN．证明

（平面

，

平面

，又

，I

,所以

平面；（）因为

平面，

平面，所以

，又

PC，PCI

C，所以

平面PBC，则

，又AM

，所以

平面AMN

；（）因为

平面AMN

，所以

AMN

．（）因为

平面，所以平面PBC

平面，又

PC，所以

平面PBC，则

MN，又

平面AMN

，所以

MN，评注 图形中异面直线

与的距离等于线段

的长度；异面直线与的距离等于线段MN的长度；4.2 鳖臑几何体中的空间角如图

为与斜线的夹角，

为与斜线在底面的射影的夹角，

为与底面所成的角

，为二面角C

的平面角，

为直线

与平面

所成的角，

为直线

PC与底面

所成的角，

为直线

A

B图8

.PC与平面

所成的角，则

.（）

；（2）

；（）

；（4）

；（5）

.证明 （）

；

（2）

； （）

；

（4）

；

（5）过

C

作

于

，连接

，则

平面

，

，

评注 图形中二面角

P

的平面角的大小等于，二面角C

的平面角的大小等于

，二面角C的平面角的大小等于

；直线

与平面

所成的角为

，直线

与平面

PBC

所成的角为

与平面

所成的角为

与平面所成的角为

，直线与平面PBC所成的角为

. 5 鳖臑几何体模型的应用5.1 2015

湖北真题评析例1 （同

文科试题）解析 （I）因为底面

，所以

PE

， C由底面

为长方形，有

，

而I

，所以BC

平面

.

而DE平面

，所以

DE.又因为

，点E是

的中点，所以DE

PC.而PCI

C，所以DE

平面.由

平面，DE

平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,BCE,DEC

,DEB.（II）因为底面

，

是阳马

的高，又点E是PC的中点，则点E到底面

的距离为的

，由于

，所以

．

P

F

E例2 （同

理科试题）解析 （I）同例

证明DE

平面.而DE

平面DEF，所以平面DEF

平面

C

.而平面DEF平面

EF

，

EF，所以平面DEF

.由DE

平面，

平面DEF

，可知四面体

BDEF

的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF

是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.（II）因为平面DEF

，底面

，则平面DEF

与平面

，所成二面角的平面角即为与所成的角不妨设

，则

，在中,

，故

．5.2 鳖臑在手，横扫立体几何试题鳖臑几何体不仅覆盖了立体几何中点、线、面的各种位置关系，以及各种空间角的计算，又突出了“垂直”这个横贯立体几何知识的系的十分重要的基本图形，也是研究棱锥、棱台的基本模型。例

已知

在

内，

P，PE

于

E，

PF

于F

，PE

PF，

，求证：在的平分线上（即

）．

解 析 因 为

E

BPE

,PF

,

，由三垂线定理

A

F

逆定理知：

,

，

因为PE

PF

,

，所以≌PAF，则

，又因为

，所以

，故

．评注 这个角两边夹角相等，那么斜线在平 E

面上的射影是这个角的平分线所在直线．本题图形中的三棱锥P就是鳖臑几何体，显然，这个三棱锥中蕴含着棱锥、棱台的所有要素。例

（

新课标

I）如图，四边形为菱形，

为

与

交点，BE

平面

.(1)证明：平面平面BED；若

o，

EC，三棱锥E的体积为

，求该三棱锥的侧面积.解析 (1)因为四边形为菱形，所以

，又BE

平面

，所以几何体E

是鳖臑，由鳖臑几何体的垂直关系性质可知

平面BEG,又

平面，所以平面平面BED.

因为

o，

EC，

CE，所以

，因为三棱锥

E的体积为

，所以鳖臑几何体

E

的体积为

.设

,则

,

,

CE

，BE

，所以E

的体积为

BE

，所以△的面积为，△

的面积与△ECD的面积均为 .故三棱锥

E

的侧面积为

.

E

F

CC

例

（

新课标Ⅱ）如图

，长方体

C

中，

，

，

，点E，F

分别在

, 上，E

F

，过点E，F

的平面

与此长方体的面相交，交线围 成一个正方形．(I)在图中画出这个正方形（不必说出画法(II)求直线

与平面

所成角的正弦值.

E

FQ

M

解析 (I)交线围成的正方形EHGF如图

(II)如图

，作

于M

,则

E

，

；因为四边形EHGF

为正方形,所以

EF

，于是

，所以

.作

EH于，连接

，则三棱锥QEF就是鳖臑几何体，其中就是

与平面EHGF

所成角，设

QFE

,

,AFE

,

由

鳖

臑

几

何

体

的

性

质

，

则

，又

，则

，

故

与平面

EHGF

所成角的正弦值为

FE

.例

（

山东）如图

，在三棱台

DEF中，DE，

，分别为，

的中点．求证：

//平面FGH；若CF

平面，

，CF

DE，

，求平面FGH与平面所成的角（锐角）的大小．解析 略.由

，

分别为，的中点，所以

∥

，因为

，所以

，又CF

平面，所以几何体F

EHC是鳖臑几何体；假设平面FGH与平面所成的角为

，FHC

,FGC

，则由鳖臑几何体的性质可知：

，又

，所