平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例【新教材】人教A版高中数学必修同步讲义Word

第六章平面向量及其应用平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例【课程标准】会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用【知识要点归纳】1.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．2.向量在物理中的应用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题．【经典例题】例1．在三角形中，，则三角形的形状是A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形例2．已知点，，不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则A．点在线段上 B．点在线段的反向延长线上 C．点在线段的延长线上 D．点不在直线上例3．如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．（1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小．例4．设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．（1）求的大小；（2）求，的大小．【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．已知作用在坐标原点的三个力，，，则作用在原点的合力的坐标为A． B． C． D．2．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：约为（参考数据：取重力加速度大小为，A．63 B．69 C．75 D．813．已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为A． B． C． D．4．一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为A． B． C． D．二．填空题（共2小题）5．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为．给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为，；③当时，；④当时，．其中正确结论的序号是．6．如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则的大小为，的大小为．三．解答题（共2小题）7．如图所示，有两条相交成的直线、，其交点是，甲、乙两辆汽车分别在、上行驶，起初甲离点，乙离点，后来两车均以的速度，甲沿方向，乙沿方向行驶．（1）起初两车的距离是多少？（2）小时后两车的距离是多少？（3）何时两车的距离最短？8．如图，两条绳提一个物体，每条绳的拉力大小均为，这时两条绳的夹角为，求物重的大小．

参考答案例题答案1．【解答】解：，，则三角形的形状是直角三角形．故选：．2．【解答】解：，点是线段的中点，即点在线段的反向延长线上．故选：．3．【解答】解：设，，，则由题意知，，根据向量加法的平行四边形法则得四边形为平行四边形．（1）由此人朝正南方向游去得四边形为矩形，且，如下图所示，则在直角中，，（2分），又，所以；（5分）（2）由题意知，且，，如下图所示，则在直角中，，（8分），又，所以，则，（11分）答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角为，的大小为；（2）他游泳的方向与水流方向的夹角为，的大小为．（12分）4．【解答】解：（1）由题意，，且与的夹角为，（2），，，，，．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【解答】解：，，，则，，．故选：．2．【解答】解：由题意知，，夹角，所以，即；所以；，则该学生的体重（单位：约为，故选：．3．【解答】解：由题意可知：对应向量如图由于，的大小为．故选：．4．【解答】解：如图所示，渔船实际航行的速度为；大小为．故选：．二．填空题（共2小题）5．【解答】解：对于①，由为定值，所以，解得；由题意知时，单调递减，所以单调递增，即越大越费力，越小越省力；①正确．对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误．对于③，当时，，所以，③错误．对于④，当时，，所以，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为：①④．6．【解答】解：根据题意，，如图所示：，，，，的大小为，的大小为．故答案为：．三．解答题（共2小题）7．【解答】解：（1）设甲、乙两车最初的位置为、，则．故．（2）设甲、乙两车小时后的位置分别为、，则．当时，；当时，．上面两式可统一为，即．（3