《金新学案》高考数学总复习 3.5数列的综合应用课件 文 大纲人教

第5课时数列的综合应用1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．1．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是(

)A．1

B．2C．4D．6答案：

B2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于(

)A．3B．2C．1D．－2解析：∵曲线的顶点是(1,2)，∴b＝1，c＝2，又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.故选B.答案：

B3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(

)A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟答案：

B4．若A、B、C成等差数列，则直线Ax＋By＋C＝0必过点________．解析：∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0，∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．答案：

(1，－2)5．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________.答案：

91．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对于两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．

数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，an＋1＝2Sn＋1(n∈N)．(1)当t为何值时，数列{an}是等比数列？(2)在(1)的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15得，b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d＝2或－10.又等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，∴d＝－10，从而Tn＝20n－5n2.[变式训练]

1.已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3＝4，且a4，a5＋4，a6成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求的最大值．解析：

(1)设数列{an}的公比为q(q∈R)，依题意可得2(a5＋4)＝a4＋a6，即2(4q2＋4)＝4q＋4q3，整理得，(q2＋1)(q－2)＝0.∵q∈R，∴q＝2，a1＝1.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.解等差数列应应用题，首先先要认真审题题，深刻理解解问题的实际际背景，理清清蕴含在语言言中的数学关关系，把应用用问题抽象为为数学中的等等差数列问题题，使关系明明朗化、标准准化．然后用用等差数列知知识求解，这这其中体现了了把实际问题题数学化的能能力，也就是是所谓的数学学建模能力．．某公司按现有有能力，每月月收入为70万元，公司分分析部门测算算，若不进行行改革，入世世后因竞争加加剧收入将逐逐月减少．分分析测算得入入世第一个月月收入将减少少3万元，以后逐逐月多减少2万元，如果进进行改革，即即投入技术改改造300万元，且入世世后每月再投投入1万元进行员工工培训，则测测算得自入世世后第一个月月起累计收入入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且入世第一一个月时收入入为90万元，第二个个月时累计收收入为170万元，问入世世后经过几个个月，该公司司改革后的累累计纯收入高高于不改革时时的累计纯收收入．[变式训练]2.用分期期付款款方式式购买买家用用电器器一件件，价价格为为1150元，购购买当当天先先付150元，以以后每每月这这一天天都交交50元，并并加付付欠款款利息息，月月利率率为1%，若付付150元之后后的第第一个个月算算分期期付款款的第第一个个月，，问分分期付付款的的第10个月该该交付付多少少钱？？全部部付清清后，，实际际共花花了多多少钱钱？解析：：购买当当天付付了150元，余余欠款款1000元，按按题意意分20次还清清．设设每次次付款款依次次构成成数列列{an}，则a1＝50＋1000×0.01＝60元，a2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5元，a3＝50＋(1000－50××2)×0.01＝59元，…an＝60－(n－1)××0.5，∴∴{an}是以60为首项项，－－0.5为公差差的等等差数数列．．∴a10＝60－9×0.5＝55.5元．20期共还还款S20＝20××60－×0.5＝1105，故共花花了1105＋150＝1255元．1．函数数的实实际应应用问问题中中，有有许多多问题题以等等比数数列为为模型型，此此类问问题往往往从从应用用问题题给出出的初初始条条件入入手，，推出出若干干项，，逐步步探索索数列2．与等比数列联系较大的是“增长率”“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口的研究中也涉及增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题．这都与等比数列有关．有一种种零存存整取取的储储蓄项项目，，它是本利和＝每期存入的金额×(1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率为5.1%，到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1%，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么每月初应存入多少？[变式训训练]3.某科研研单位位欲拿拿出一一定的的经费费奖励励科研研人员员，第第1名得全全部资资金的的一半半多一一万元元，第第二名名得剩剩下的的一半半多一一万元元，以以名次次类推推都得得到剩剩下的的一半半多一一万元元，到到第10名恰好好资金金分完完，求求此科科研单单位共共拿出出多少少万元元资金金进行行奖励励．数列与与其他他知识识的综综合问问题主主要指指的是是用几几何方方法或或函数数的解解析式式构造造数列列，用用函数数或方方程的的方法法研究究数列列问题题．函函数与与数列列的综综合问问题主主要有有以下下两类类：一是已已知函函数的的条件件，利利用函函数的的性质质图象象研究究数列列问题题，如如恒成成立，，最值值问题题等．．二是是已知知数列列条件件，利利用数数列的的范围围、公公式、、求和和方法法等知知识对对式子子化简简变形形，从从而解解决函函数问问题．．数列综综合题题的四四种题题型(1)数列与与其他他章节节的综综合题题数列综综合题题，包包括数数列知知识和和指数数函数数、对对数函函数、、不等等式知知识的的综合合，另另外，，数列列知识识在复复数、、三角角函数数、解解析几几何部部分也也有广广泛应应用．．(2)数列的探索索性问题探索性问题题是高考的的热点，常常在数列解解答题中出出现，探索索性问题对对分析问题题、解决问问题的能力力有较高的的要求．(3)等差数列与与等比数列列的综合问问题解决此类问问题须从整整体着眼考考查所研究究的问题中中的数列特特征、结构构特征，以以探求解题题思想，从从而优化、、简化解题题过程的思思想方法，，在数列中中，倘若抓抓住等差、、等比数列列项的性质质，整体代代换可简化化解答过程程．(4)数列的实际际应用现实生活中中涉及银行行利率、企企业股金、、产品利润润、人口增增长、工作作效率、图图形面积、、曲线长度度等实际问问题，经常常考虑用数数列的知识识来加以解解决．通过对近三三年高考试试题的统计计分析不难难发现，本本节命题有有以下的规规律：1．考查热点点：等差数数列与等比比数列的综综合问题和和求一般数数列的前n项和为文科科高考考查查的热点，，难度中等等；而数列列与不等式式、函数的的综合问题题和数列中中的存在问问题为理科科考查的热热点，难度度一般较大大．2．考查形式式：选择题题、填空题题和解答题题均可出现现，但是以以解答题为为主，数列列大题是高高考数学试试卷解答题题中必有的的一道．3．考查角度度：一是对等差差数列与等等比数列的的综合问题题的考查，，解题关键键是综合应应用等差、、等比数列列的性质．．二是对数列列与不等式式、函数的的综合问题题的考查，，这类问题题常以数列列为背景，，考查不同同知识的交交汇点．4．命题趋势势：数列与与不等式证证明相结合合，是近几几年高考命命题的主要要方向．(12分)(2010·浙江卷)设a1，d为实数，首首项为a1，公差为d的等差数列列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围围．1．(2010·江苏卷)在数列{an}中，a1＝0，且对任意意k∈N，a