基础医学异方差

基础医学异方差第二篇

放宽经典模型的假定Dr.Ouyang2学习思路概念成因 后果检验消除方法Dr.Ouyang3第五章

异方差Dr.Ouyang4§1什么是异方差Dr.Ouyang5(A)(B)密度储蓄Y收入X密度储蓄Y收入X异方差的图形表示Dr.Ouyang6（A)与(B)的比较：相同点：收入增加，储蓄平均来说也增加。不同点（A)储蓄的方差在所有的收入水平上保持不变。（B)储蓄的方差随收入的增加而增加。解释：随收入增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配他们的收入有更大的选择范围。Dr.Ouyang7例2：边错边改学习模型人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少。例如，在给定的一段时间里，大字出错个数与用于打字练习的小时数的关系。随着打字练习小时数的增加，不仅平均打错字数，而且打错个数的方差都有所下降。（图略）注：一般横截面数据容易出现异方差。Dr.Ouyang8以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解释变量：产出量Y解释变量：资本K、劳动L、技术A，

那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。例3:企业生产函数Dr.Ouyang9§2出现异方差时的OLS估计Dr.Ouyang10一、参数OLS估计的方差增大参数OLS估计仍然是线性无偏的。Dr.Ouyang11为什么β2的估计值的方差可以直接用这个等式求到？Dr.Ouyang12二、t检验失效这是因为直接应用OLS所计算出的参数的不是最优的（即不具备方差最小性），从而导致t检验值变小。Dr.Ouyang13§3异方差的检验检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。问题在于用什么来表示随机误差项的方差思路一般是，用OLS方法来估计模型，求得随机扰动项的估计量（注意，该估计量是不严格的），即“近似估计量”，再用其平方来表示随机误差项的方差。Dr.Ouyang14一、非正式方法1、实际问题：如截面数据2、图解法：......................Dr.Ouyang15.......................................图解法Dr.Ouyang16Dr.Ouyang172、格莱泽（Glejser)检验Dr.Ouyang183、戈德菲尔德—匡特（Goldfeld-Quandt)检验（1）

（2）（3）检验统计量：（4）判别：

注：“大在分子，小在分母”。总结：至今没有很好的检验方法！Dr.Ouyang19C个IIIX1Xn(n-c)/2个(n-c)/2个Dr.Ouyang20布鲁士-帕根检验(BP检验)

Breusch-Pagantest(BPtest)假设u2与x的线性组合之间存在某种函数关系：E(u2|x1,…,xk)=f(x)=f(d0+d1x1+…+dkxk)常见：f(z)=zu2=d0+d1x1+…+dkxk+e此时，异方差检验等价于检验：H0:d1=…=dk=0问题：u2isunobservable一个自然的想法：用^u2代替u2

^u2=d0+d1x1+…+dkxk+eFtest/LMtest：H0：overallsignificanceDr.Ouyang21布鲁士-帕根检验(BP检验)

Breusch-Pagantest(BPtest)(i).用OLS估计多元回归模型：y=b0+b1x1+b2x2+...bkxk+u得到^ui，计算^ui2.(ii).用^ui2对所有解释变量进行回归：^ui2=d0+d1xi1+…+dkxik+ei得到拟合优度R2uˆ2.(iii).对回归方程(ii)进行总体显著性检验：H0:d1=…=dk=0BP检验[Breusch-Pagantestforheteroskedasticity

(BPtest)]:LMversionDr.Ouyang22布鲁士-帕根检验(BP检验)

Breusch-Pagantest(BPtest)如果怀疑异方差仅与某些特定解释变量xj-xj+q有关，则在第(ii)回归时,只需将^ui2对xj-xj+q，并进行F/LMtest即可.Dr.Ouyang23怀特检验

TheWhiteTest但是，异方差可能是来源于：x高次项(2次项、交互项)之间可能存在函数关系：假定E(u2|x1,…,xk)=f(x1,…,xk)是x1,…,xk的二次函数,即所有解释变量的一次项、平方项和交互项的线性组合,则(当k=2时)：^u2=d0+d1x1+d2x2+d3x12+d4x22+d5x1x2+eFtest/LMtest:H0:d1=0,d2=0,d3=0,d4=0,d5=0怀特异方差检验(TheWhitetestforheteroskedasticity):LMversion问题：当k很大时，上述回归方程中的解释变量迅速增加。Dr.Ouyang24怀特检验的一种变形

AlternateformoftheWhitetest回顾：ŷi=^b0+^b1xi1+^b2xi2+...+^bkxik

ŷi2是x1…xk的平方项和交互项的一个线性组合在一定条件下，可以用

ŷi

和

ŷi2的某种线性组合，来代替x1…xk的一次项、平方项和交互项线性组合，故可将^u2对ŷi,ŷi2进行回归:于是：^u2=a0+a1ŷi+a2

ŷi2+eFtest/LMtest:H0:a1=0,a2=0Note：onlytestingfor2restrictionsnowDr.Ouyang25§4、异方差的修正Dr.Ouyang26Dr.Ouyang27

Dr.Ouyang28Dr.Ouyang29当未知X.....0.....X0...Dr.Ouyang30Dr.Ouyang31MoreonWLSWLSisgreatifweknowwhatVar(ui|xi)lookslike 如果我们知道Var(ui|xi)的形式，WLS很棒Inmostcases,won’tknowformofheteroskedasticity 在大多数情况下，我们并不清楚异方差的形式Dr.Ouyang32FeasibleGLS

可行GLSInthiscase,youneedtoestimateh(xi) 此时，你需要估计h(xi)Typically,westartwiththeassumptionofafairlyflexiblemodel,suchas 我们可以从一个非常灵活的方程形式入手 Var(u|x)=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)Sincewedon’tknowthed,mustbeestimated 由于d未知，我们必须对它进行估计。为什么不用前面BP检验中的水平线性模型？Dr.Ouyang33FeasibleGLS(continued)

可行GLSOurassumptionimpliesthat 我们的假定意味着 u2=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)v, whereE(v|x)=1.ln(u2)=a0

+d1x1+…+dkxk+eWhereE(e)=1andeisindependentofx 其中E(e)=1且e独立于xNow,weknowthatûisanestimateofu,sowecanestimatethisbyOLS

现在，我们知道û是u的一个估计，所以我们可以通过OLS对其进行估计。Dr.Ouyang34FeasibleGLS(continued)

可行GLSNow,anestimateofhisobtainedasĥ=exp(ĝ),andtheinverseofthisisourweight 对h的估计可以通过ĥ=exp(ĝ)得到，其倒数为我们的权重So,whatdidwedo? 那么，我们做了什么呢？RuntheoriginalOLSmodel,savetheresiduals,û,squarethemandtakethelog 对原方程做OLS回归，保存残差û，平方之，并取自然对数Regressln(û2)onalloftheindependentvariablesandgetthefittedvalues,ĝ

将ln(û2)对全部解释变量回归，得到预测值ĝDoWLSusing1/exp(ĝ)astheweight 将1/exp(ĝ)作为权重，做WLSDr.Ouyang35Dr.Ouyang36三、具体例子1988年美国的研究开发与支出18个工业行业，RD～Sale1、OLS:Se=(990.99)(0.0083)t=(0.1948)(3.8434)R2=(0.4783)t值在0.002水平上是统计显著的Dr.Ouyang372、Park检验t=(0.8572)(1.1626)R2=0.0779无法拒绝同方差性Dr.Ouyang383、Glejser检验t=(0.8525)(2.0931)R2=0.2150t=(-0.5032)(2.3704)R2=0.2599t=(3.7601)(-1.6175)R2=0.1405①②③