《直线上向量的坐标及其运算》设计

6.2.2直线上向量的坐标及其运算【教学目标】理解直线上向量的坐标的含义及其运算【教学重点】理解直线上向量的坐标的含义【教学难点】理解直线上向量的坐标的含义【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1．直线上向量的坐标给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．思考：向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗?提示:能.(1)|a|=|xe|=|x||e|=|x|.(2)当x>0时,a的方向与e的方向相同;当x=0时,a是零向量;当x<0时,a的方向与e的方向相反.2．直线上向量的运算与坐标的关系假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝x2;__a＋b＝(x1＋x2)e．如果u，v是两个实数，那么ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，ua－vb的坐标为ux1－vx2．设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝x1e，eq\o(OB,\s\up6(→))＝x2e，因此，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝x2e－x1e＝(x2－x1)e．AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|x2－x1|．思考2:向量在平移前后，其坐标是否改变？提示:不变..小试牛刀1.数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，eq\o(AB,\s\up12(→))的坐标为()A．3B．(3,0)C．－3D．(－3,0)解析：A的坐标为1，B的坐标为－2，则eq\o(AB,\s\up12(→))的坐标为－3.答案：C2.已知直线上向量a的坐标为3,则b=-2a的坐标为()A.-2B.2C.6D.-6解析：-2a的坐标为-2×3=-6.答案：D3.若e是直线l上的一个单位向量,向量a=e是这条直线上的向量,则向量a的坐标为 解析：由直线上向量的坐标的定义知,向量a的坐标为.答案：4.如图，数轴上A，B两点的坐标分别为－4,2，点C是线段AB的中点，则向量eq\o(AC,\s\up16(→))的坐标为______．解析：由A，B两点的坐标分别为－4,2，得点C的坐标为eq\f(－4＋2,2)＝－1，故eq\o(AC,\s\up16(→))的坐标为－1－(－4)＝3.答案：3例题讲授直线上向量的坐标例1已知直线上向量a的坐标为,b的坐标为5：求下列向量的坐标：⑴a+b；⑵；⑶.解：⑴a+b的坐标为；⑵的坐标为；⑶的坐标为方法总结直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题,解题时要特别注意符号,以防出错.当堂练习1直线上向量a的坐标为5，b的坐标为－eq\f(1,3)，求下列向量的坐标：(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b．解(1)－3b的坐标为(－3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝1.(2)a－b的坐标为5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(16,3).(3)2a＋3b的坐标为2×5＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝9.(4)－a－6b的坐标为－5－6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－3.例2设数轴上两点A，B的坐标分别为3，－7，求：(1)向量eq\o(AB,\s\up12(→))的坐标，以及A与B的距离；(2)线段AB中点的坐标．【解析】(1)由题意得eq\o(OA,\s\up12(→))的坐标为3，eq\o(OB,\s\up12(→))的坐标为－7，又因为eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))的坐标为－7－3＝－10，而且AB＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|－10|＝10.(2)设线段AB中点的坐标为x，则x＝eq\f(3＋－7,2)＝－2.方法总结数轴上A点坐标x1，B点坐标x2(1)则eq\o(AB,\s\up12(→))坐标x2－x1，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|x2－x1|(2)线段AB的中点坐标eq\f(x1＋x2,2)当堂练习2⑴已知数轴上两点M，N，且|eq\o(MN,\s\up16(→))|＝4，若xM＝－3，则xN等于()A．1 B．2C．－7 D．1或－7解析|eq\o(MN,\s\up16(→))|＝|xN－(－3)|＝4，∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.答案D⑵如图，数轴上A，B两点的坐标分别为－4,2，点C是线段AB的中点，则向量eq\o(AC,\s\up16(→))的坐标为________．解析由A，B两点的坐标分别为－4,2，得点C的坐标为eq\f(－4＋2,2)＝－1，故eq\o(AC,\s\up16(→))的坐标为－1－(－4)＝3.答案3课堂小结1.直线上向量的坐标给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e,对于这条直线上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时x称为向量a