《用样本估计总体》设计

用样本估计总体【教学目标】1.会求样本的平均数、标准差、方差．2．理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法．3．会应用相关知识解决实际统计问题．【教学重点】1.会求样本的平均数、标准差、方差2．理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法【教学难点】会应用相关知识解决实际统计问题．【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．用样本的数字特征估计总体的数字特征一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数(也称为样本均值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会太大．大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大．在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可．2．用样本的分布估计总体的分布如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多．特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大．同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差．如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)[(π1－p1)2＋(π2－p2)2＋…＋(πn－pn)2]不等于零．同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大．小试牛刀1．如图是总体密度曲线，下列说法正确的是()A．组距越大，频率分布折线图越接近于它B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C．阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比D．阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比C[当样本容量越大，组距越小时，频率分布折线图越接近总体密度曲线，但它永远达不到总体密度曲线．在总体密度曲线中，阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比．]2．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4A[在这一组数据中，3出现次数最多，有6次，故众数是3；将数据按从小到大顺序排列后，最中间的数据是3，故中位数是3；平均数eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4，故只有①正确．]3.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()A．甲运动员的成绩好于乙运动员B．乙运动员的成绩好于甲运动员C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D．甲运动员的最低得分为0分解析：选A.由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30～50分，且高分较多．而乙的成绩只有一个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩．4.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.40解析：60×＋×10＝24.茎叶图估计平均数和方差例1为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示．估计这个学校学生体重的平均数和方差.【解析】将样本中的每一个数都减去50，可得－5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10，这组数的平均数为eq\f(－5－1－3－1－4－4＋1＋8＋9＋10,10)＝1，方差为eq\f(62＋22＋42＋22＋52＋52＋02＋72＋82＋92,10)＝.因此可估计这个学校学生体重平均数为51，方差为.方法总结在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值，例如上述数据，我们可以从平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差等角度进行比较.当堂练习1对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根据以上数据，试判断他们谁的成绩比较稳定．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq\f(1,6)×94≈，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝eq\f(1,6)×76≈.所以eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的稳定，故乙的成绩比较稳定．分层抽样估计总体的数字特征例2.某高校欲了解在校学生用于课外进修(如各种考证辅导班、外语辅导班等)的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出(元)的结果如下：层样本量样本均值样本方差本科140231研究60367试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差．解.把本科生样本记为x1，x2，…，x140，其平均数记为eq\x\to(x)，方差记为seq\o\al(2,x)；把研究生记为y1，y2，…，y60，其平均数为eq\x\to(y)，方差记为seq\o\al(2,y)；把总体数据的平均数记为eq\x\to(z)，方差记为s2.则eq\x\to(x)＝eq\f(1,140)，seq\o\al(2,x)＝eq\f(1,140)－；eq\x\to(y)＝eq\f(1,60)，seq\o\al(2,y)＝eq\f(1,60)－eq\x\to(y)2.所以,＝[140eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\x\to(x)2))+60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))2))]总样本平均数为：eq\x\to(z)＝eq\f(140,200)×＋eq\f(60,200)×＝(元)总样本方差为：s2＝－eq\o(z,\s\up6(－))2＝eq\f(1,200)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(140\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\o(x,\s\up6(－))2))＋60\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))2))))－eq\o(z,\s\up6(－))2.＝eq\f(1,200)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(140231＋＋60367＋))－＝1.由于分层随机抽样是按比例分配的，所以可以估计全校学生用于课外进修的平均开支为元，开支的方差为1.方法总结假设第一层有个数，分别为，平均数为，方差为；第二层有个数，分别为，平均数为，方差为，则如果记样本均值为，样本方差为，则可以计算出当堂练习2在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为和，观众代表打分的平均数和标准差为和，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．解把专业人士打分样本记为x1，x2，…，x8，其平均数记为eq\x\to(x)，方差记为seq\o\al(2,x)；把观众代表打分样本记为y1，y2，…，y12，其平均数为eq\x\to(y)，方差记为seq\o\al(2,y)；把总体数据的平均数记为eq\x\to(z)，方差记为s2.[则总样本平均数为：eq\x\to(z)＝eq\f(8,20)×＋eq\f(12,20)×＝(分)，总样本方差为：s2＝eq\f(1,20)[(xi－eq\x\to(z))2＋(yj－eq\x\to(z))2]＝eq\f(1,20)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－\x\to(z)))2))＋12[s\o\al(2,y)＋\x\to(y)－\x\to(z)2]))＝eq\f(1,20)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8[＋－2]＋12[＋－2]))＝，总样本标准差s≈.所以计算这名选手得分的平均数为分，标准差约为.频率分布直方图总体的.估计数字特征例3.我们是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位，t）,将数据按照分层5组，支撑了如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的a的值；（2）设该市有10万个家庭，估计全市月均用水量不低于3t的家庭数；（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数.解：（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以 解得：（2）抽取的样本中，月均用水量不低于3t的家庭所占比例为因此估计全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例也为30%，所求家庭数位100000.（3）因为因此估计全市家庭月均用水量的平均数位.方法总结1．利用频率分布直方图求数字特征(1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．当堂练习3某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数(3)求这次测试数学成绩的平均分．(4)试估计80分以上的学生人数．解(1)由图知众数为eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为，第四个矩形面积为,＋＞，因此中位数位于第四个矩形内，得＝(x－70)，所以x≈.(3)由图知这次数学成绩的平均分为：eq\f(40＋50,2)××10＋eq\f(50＋60,2)××10＋eq\f(60＋70,2)××10＋eq\f(70＋80,2)××10＋eq\f(80＋90,2)××10＋eq\f(90＋100,2)××10＝72.(4)[80,90)分的频率为：×10＝，频数为：×80＝20.[90,100]分的频率为：×10＝，频数为：×80＝4.所以估计80分以上的学生人