【课件】4.4.2对数函数的图象及其性质 课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2对数函数的图象和性质高一数学必修第一册第四章指数函数和对数函数学习目标

1.会用描点法画对数函数的图象；2.掌握对数函数的性质；3.能用对数函数的图象性质比较对数的大小.4.核心素养：数学抽象、数学运算.一、回顾旧知1.对数函数的定义一般地,函数叫做对数函数.其中x是自变量,定义域是①列表②描点

③连线2.描点法作函数图象的步骤二、探究新知与研究指数函数一样,首先画出其图象,再借助图象研究其性质,先用描点法画函数的图象.1.84201-10.5-20.25列表12321-1-21240yx3描点连线2.思考：我们知道底数互为倒数的两个指数的图象关于y轴对称，对于底数互为倒数的两个对数函数，如,它们的图象是否也有某种对称关系？可否利用其中一个函数图象画出另一个函数的图象？(3)根据对称性（关于x轴对称)已知的图象，你能画出的图象吗？x1oy1当0<a<1时与a>1时的图象又怎么画呢?性质又如何？

为了得到对数函数的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察如图象性质a＞10＜a＜1定义域:

值域:过定点在(0,+∞)上是在(0,+∞)上是当x>1时，当x=1时，当0<x<1时，(0,+∞)R(1,0),

即当x＝1时,y＝0增函数减函数y>0y=0y<0

当x>1时，当x=1时，当0<x<1时，y<0y=0y>0

3.对数函数的图象和性质4.下列是6个对数函数的图象,比较它们底数的大小

规律：在x=1的右边看图象,图象越高底数越小.即图高底小10

底数a>1时,底数越大,其图象越接近x轴补充性质二

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称补充性质一图

形10.5y=logx0.1y=logx10y=logx2y=logx0xy

底数0<a<1时,底数越小,其图象越接近x轴5.指数函数与对数函数互为反函数定义域与值域互换.1.例3.比较下列各组中，两个值的大小：

(1)log23.4与log28.5log23.4log28.53.4108.5∴log23.4<log28.5解法1：画图找点比高低解法2：利用对数函数的单调性考察函数

y=log2x,∵a=2>1,∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5∴log23.4<log28.5三、巩固新知解法2：考察函数

y=log0.3x,∵a=0.3<1,∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵1.8<2.7

∴log0.31.8>log0.32.7

解法1：画图找点比高低1.例3.比较下列各组中，两个值的大小：(2)log0.31.8与log0.32.7比较两个同底对数值的大小时:1)观察底数是大于1还是小于1(a>1时为增函数,0<a<1时为减函数)2)比较真数值的大小；3)根据单调性得出结果.注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论即0<a<1

和

a>

1

比较下列各组中，两个值的大小：

(3)

loga5.1与

loga5.9解:①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；

∵5.1<5.9

∴loga5.1<loga5.9

②若0<a<1则函数在区间（0，+∞）上是减函数；

∵5.1<5.9

∴loga5.1>loga5.91.例3.你能口答吗？变一变还能口答吗？＜＞＞＜＜＞＞＜＜＜＜＜2.试一试：

比较下列各组中两个值的大小:⑴log67,log76;⑵log3π,log20.8.

解:

⑴∵log67＞log66＝1

log76＜log77＝1

∴log67＞log76

⑵

∵log3π＞log31＝0

log20.8＜log21＝0

∴log3π＞log20.8注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小.提示:

logaa＝1提示:

loga1＝0小技巧：判断对数与0的大小是只要比较（a-1)(b-1)与0的大小3.变式:4.例4:

溶液酸碱度的测量

溶液酸碱度是通过PH计算的.PH的计算公式PH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

(1)根据对数函数性质及上述PH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系.

(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]

=10-7摩尔/升,计算纯净水的PH值.

解:(1)根据对数函数性质,有PH=-lg[H+]=lg[H+]-1=lg,[H+]在(0,+∞)上，随着[H+]的增大,减小，相应地，[H+]lg也减小，即PH减小.所以随着[H+]的增大,PH减小,[H+]即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸