大学期中试卷【范本模板】

厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院全部系2004年级各专业主考教师：林鹭、杜妮试卷种类：（A卷）注意：全部答案请写在答题纸上一选择题(7题×4分）1．设n阶实对称矩阵A是正交矩阵，则___。A。A=I;B。A与I相似;C.A2I；D。A与I合同.2．以下说法错误的选项是___。A。A、B为n阶实对称矩阵,若存在n阶可逆方阵C，使得CACB，则A与B合同；B.A为n阶实对称矩阵，且对任意n维向量x，都有xAx0，则A=0；两个n阶实对称矩阵合同的充分必需条件是它们有同样的秩；实对称矩阵的秩r和符号差s拥有同样的奇偶性.3．设A为n阶实对称矩阵，则以下条件中有___个必保证A为负定。①A的正惯性指数=0；②A的全部序次主子式〈0；③A的全部特点值〈0;④对任意非零向量x,都有xAx0.A。1B。2C。3D.44．以下表达中错误的选项是___。A.A为可逆矩阵，则A2必是正定矩阵；B。A为正定矩阵，则存在可逆矩阵Q，使AQQ；C.A为正定矩阵，则A的全部对角元必大于零；D.A为正定矩阵,则A必正交相似于对角矩阵。5．设n阶实对称矩阵A的特点值为1,2,,n，则当t___时，AtI为正定矩阵。A。min{1,2,,n}B.min{1,2,,n}；C.max{1,2,,n}；D.max{1,2,,n}。16．设是欧氏空间V的线性变换，则以下命题中___不能够作为是正交变换的等价命题.A.在某一组基下表示矩阵是正交阵；B。1*；C.保积同构;D.保持距离不变。7．设是欧氏空间V的自陪同算子，则以下命题中正确的有___个.①在V的某组基下表示矩阵是对角阵；②的特点值模为1；③的属于不同样特点值的特点向量必正交；④x,yV,((x),y)((y),x)。A.1;B.2；C。3；D。4。二填空题（7题×4分）1．n阶实对称矩阵按合同分类，共有___类；而n阶对称正交矩阵按相似分类,共有___类。1111012．设A1,B1,C11，D10是R上3阶方阵。则在B,C，2222D中，___与A正交相似，___与A合同。103．设Aaijnn为n阶正交矩阵，且a111,则矩阵方程Ax0

的解x=___。4．R13中，定义内积为标准内积，则向量(1,2,2),(1,0,1)的夹角是___，距离是___。5．设1,2,3,4是欧氏空间V的一组标准正交基,V1L(1,2)，此中123，2124，则___是V1的一组标准正交基.12346．在R14中，与矩阵A2345的每个行向量都正交的全体向量所组成的子空间W的维数为___.34567．设1,2,,n是n维欧氏空间V的一组基，关于这组基的胸襟矩阵G,V上线性变换在这组基下的矩阵为A，则的陪同算子*在这组基下的矩阵是___,进而为自陪同算子的充分必需条件是___。2三（12分)已知二次型f(x,y,z)(x2y2z2)2xy2xz2yz。1．请写出该二次型的相伴矩阵；2．取什么值时，f是正定的？3．当=1时，将二次型f化为标准型并求出相应的非退化线性替代。四（12分）设A,B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得T1ATB的充分必需条件是A，B有同样的特征值。(10分）设A，B都是实对称矩阵,且B是正定的。若BA的特点值都大于0，证明A是正定矩阵。(10分)设是n维欧氏空间V上的正交变换，令V1