复数的知识点总结与题型归纳

复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1．复数有关概念我们把集合C＝

{

a＋bi|a，b∈

}

中的数，即形如ababR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母表示，即z＝a＋bi(，b，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明都有ab∈，其中a与b别叫做复数z的实部与虚部．说明：复数集是最大的数集何一个数都可以写成＋i(a∈R)形式中＝00i.复数的虚部是实数非i.复数z＋i只有在ab∈R才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数等在复数集C＝{＋i|a，b∈R

}

中任取两个数a＋b＋db∈R)，我们规定：ab与c＋di相等的充要条件是＝c且b＝d.3．复数分类对于复数a＋bi，当且仅b＝0时，它是实数；当且仅＝＝0时，它是实数0当b0，叫做虚数；a＝0且≠时，叫做纯虚数．这样，复z＝a＋bi可以分类如下：复数z

b＝0)，当＝时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系1212121231221212121231221312311211211214．复数几何意义一一对应复数＝＋i(a，b∈R)平面内的点(，)一一对应→复数＝＋i(a，b∈R)平面向量.5．复数模定义：向量OZ的模r做复数＝a＋bi(ab∈R)的模．记法：复数z＝a＋bi的模记为或a＋bi|.公式：z＝a＋bi|＝r＝br≥0，∈R)．说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数了原点外轴上的点都表示纯虚数点对应的有序实数对为(0,0)它所确定的复数是＝00i＝，表示的是实数．6．复数加、减法法则设z＝a＋bi，＝＋d，，，d∈R)，则z＋＝(a＋c＋b＋d)i，－z＝(a－)＋(b－d7．复数法运算律设z，，∈C，有＋z＝z＋，(z＋＋＝＋(＋z)．8．复数、减法的几何意义→设复数zz对应的向量为OZ，OZ，则复z＋是以，OZ→→为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数－z是连接向量与→→的终点并指向OZ的向量所对应的复数．它包含两个方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释复数作为工具运用于几何之中．12112312212112312212113231212129．复数数形式的乘法法则设z＝a＋biz＝＋di(，bc，d∈R)，·＝(＋i)(c＋d＝(ac－)＋(ad＋bc10复数乘法的运算律对任意复数z，z，∈C，有交换律结合律分配律

z·z＝zz()·z＝z·z)z(z＋z)＝zz＋z共轭复数已知z＝a＋bi，＝＋d，，，c，d，则，z互为共轭复数的充要条件是a＝且bd.，z互为共轭虚数的充要条件是a＝且b＝－d≠0.12复数代数形式的除法法则：a＋b＋d＝

a＋bi＋bdbc－＝＋i(c＋di≠．c＋didc2d说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数cd，化简后即得结果个过程实际上就是把分母实数化与根式除法的分母有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[例]

实数x分别取什么值时，复数z＝

x2

－x－6x＋3

＋－2x－15)i是(实数？(2)虚数？纯虚数？＝0[]当足

即x5，是实数．≠0当足

即x≠3≠5，是虚数．所以＝－－且－＋所以＝－－且－＋30所以m22212当足

＝，x3x2－15≠0x3≠0

即x－2＝3，是纯虚数．复数分类的关键利用复数的代数形式数进行分类是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式解参数时意考虑问题要全面条件不满足代数形式z＋i(abR)应先转化形式.注意分清复数分类中的条件设复数z＝＋bi(，∈，则①z为实数⇔b0②为虚数⇔b0③z为纯虚数⇔a00.④＝0⇔a0且＝0题型二、复数相等[例]

已知关于x的方程

＋(1－x＋(3i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根为．[析]

设是原方程的实根，则

＋－2i)＋(3－i)0即a2a3)－＋1)i＋0i，所以a＋3m0＋＝0111题型三：复数与点的对应关系

.[例]

aa－6求实数分别取何值时，复数＝＋(aa＋3

2

－2a15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：在复平面的第二象限内．在复平面内的轴上方121211212121211212[]

－＜0点在复平面的第二象限内，aa2a15，

解得a－3.＞，点在轴上方，则或＜－3.题型四：复数的模

即aa5)0解得a5[例]

若复数对应的点在直线＝x上|z＝5复数z＝()A．1＋2iC．±1±2i

B．－2iD．1＋2i或－－2i设复数＝a2i，＝－2＋i，＜z，则实数a取值范围是()A．－∞，－1)，＋∞)C．，＋∞)

B．－1,1)D．(0，＋∞)[析]依题意可设复数za2aa∈R)z|＝5

a

24＝，解得＝±1故z＋2i或z－－因为|z＝

a

2

＋z

2

＝

415

a

2

＋＜5a24，所以

2

＜1即－1a1.[案](1)D(2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[例]

→→向量OZ对应的复数是－4i，向量对应的复数是－＋，→→则+OZ对应的复数是()A．－＋8iB．10－→→→所→→→所以OZ→→1212121121212→→→C．0D．8i[析]

因为向量OZ对应的复数是54i量对应的复数是－＋4iOZ＝(5,＝(5,－OZ＝(5＋(－＝，+对应的复数是[案]题型六：复数代数形式的加、减运算[例]

计算：－3i)＋(－4＋＝已知＝x－4y)＋(y2x)i，＝(－2＋y(x－3)i，，y为实数，若z－＝53i，则z＋＝[析](1)(23i)＋(－＋2i)＝－＋(－3＝－－i.－＝[(3x)(x)i]－[(－2)(y)i]＝[(3y)(xy)]＋[(－2－(x3)]i(5x5y)(3x＋)i－3i，所以

＋4＝－3

解得x1＝，所以z

1

＝32iz＝＋i则z＋＝－i所以＋＝2.[案]－2－i(2)题型七：复数加减运算的几何意义[例]

如图所示，平行四边形OABC的顶点OA，C分别表示0,3+2i-2+4i.：→(1)表示的复数；对角线CA表示的复数；→对角线OB表示的复数．[]因为AO＝OA，所以表示的复数为－32i.→→→→→→→→→12312121231因为CA＝－OC，所以对角线表示的复数为(32i)－(24i)＝－因为对角线＝＋，所以对角线OB表示的复数2i)＋(24i)＝＋6i.题型八：复数模的最值问题[例]

如果复数满足z＋＋z－i|＝2那么＋i＋1|的最小值是()A．1

B.

C．2

D.5若复数满足|z＋3＋i|≤1，求z的最大值和最小值．[析]设复数-i，i，-1-i在复平面内对应的点分别为Z，Z，Z，因为，|ZZ，所以点Z的集合为线段Z问题转化为：动点Z在线段Z上移动，求|ZZ的最小值，因为ZZ所以[案]A→解：如图所示，|OM|

－3)

＋－2

＝2.所以zmax21，zmin－＝题型九：复数代数形式的乘法运算2555525555[例]已知i是虚数单位，若复数(1ai)(2＋i)是纯虚数，则实数等于()A．2

B.

C．－

D．－2苏高)复数z＝(12i)(3－，其中i为虚数单位，则z的实部是________．[析](1)(1ai)(2i)2a(12a使复数为纯虚数以有－＝＋≠，解得＝(2)(12i)(3－i)3i6i－2i

＝55i，所以z的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[例]

若复数满足(2－i)＝＋7i(i虚数单位，则为()A．3＋5iC．－3＋5i设i是虚数单位，复数A．2

＋ai－i

B．3－5iD．－35i为纯虚数，则实数a()B．C．－

1D.[析]∵(2i)117i，∴z

117i(117i)(2＋i)＝2i－i)(2i)

＝

155

＝＋(2)

＋ai＋ai)(2i)－＋a＋i2＋＝＝＋i是纯虚数＝，－i(2i)(2＋i)－i≠0所以a2.[案](1)A(2)A)＋(i2016)＋(i2016题型十一：i的乘方的周期性及应用[例]

湖北高考)i为虚数单位，i

607

的共轭复数为()A．iC．1

B．iD．－1计算i

1

＋i

2

＋i3

＋…＋

2016

＝________.[析]因为i607i151

＝i3－i所以其共轭复数为i故选法一：原式＝

i(1－i2016)i[1－(i2)1008]i(1－＝