【课件】4.3.2等比数列的前n项和公式第二课时课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2

等比数列的前n项和公式应用1.等比数列前n项和公式：2.等比数列求和要考虑公比是否为1.3.等比数列求和的常用方法：错位相减法.

若等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为Sn，则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列,其中公比为qn.复习引入4.等比数列的片段和性质：消元方法：约分或两式相除思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝

(q≠1)的函数特征吗？探究新知➱➱当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.例1数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.解:当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不满足上式.由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.典例分析思考：还有其他方法判断{an}是否是等比数列吗？思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n探究新知➱⇔S偶＝qS奇⇔➱例2已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.解：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80∴S奇＝－80，S偶＝－160，典例分析变式：若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.300

典例分析

例4去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).典例分析分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.

所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.小试牛刀分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2)

将等差数列和等比数列分开：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a1

+a2+…+an

)±(b1

+b2+…+bn

)(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.解：变式：

典例分析

(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答.

小试牛刀1.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).当x≠1时，Sn＝x＋

2x2＋

3x3＋

4x4

＋

…＋

nxnxSn＝

x2＋

2x3＋

3x4＋

…＋

(n－1)xn＋nxn＋1∴(1－x)Sn＝x＋

x2＋

x3＋

x4

＋

…＋

xn

－nxn＋1课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂小结1.等比数列前n项和公式Sn的函数特征：当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.(1)若等比数列{a