凹凸函数之切线放缩

凹凸函数之切线放缩很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数(不等式)可以近似成多项式函数(不等式)，其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义(切线)进行放缩，即变成g(x)三kx+b,或g(x)Wkx+b(等号成立的条件恰好是切点时满足)。这里特例举几个题目来谈谈它的应用吧。例1 [0,3],已知数列｛%｝满足。＜4W3,寿eN*,且满足q+a, 1-%oio=670,贝！]/(&)+/(4)+…+/(。2010)( )A.最大值6030B...最大值6027C有最小值6027. D.有最小值6030解析:A」，/(1)=3,当/=a=…=ay="j 。 lu_lu3时，/(%)+/(%)+…+/(%。]。)=60303+蒐对于函数〃、尸=(°。“3)，1 9 1k=r(―)=-一，在x=-处的切线方程为即3 16 33y=——(ll-x),10"含"Qi-M则上十工212=(l3)(x——)2<0所以当时，有3了(%)«记(11-3%)/(q)+./(4)+…+/(^2ow)g——[11x2010—3(%+a?+,•*+々(no)]=6030例2、已知函数/(x)二―"G>0).1+依(1)求了⑶)在。,2］上的最大值；(2)若直线y=-x+2a为曲线y=/(x)的切线求实数。的值;：(3)当a=2时，设玉，修，…，演46；，2，且.玉+々+…+%=14,若不等式八叫)+/'(々)+**七/'(孙)巨丸恒成立】求实数反的最小值.解析：（1）9[1•(1+ax2)—x*2ca]9(1—ax')(1+ax)2 (1+axy令八尢）=0,解得计土上工（负值舍去），由a—<---<2,解得—<6/<4,（i）当。<=三J时，由得4 2/GR0,.•./（%）在［；,2］上的最大值为八2)=八2)=184。+1(ii)当。24时，由,得/'(刈工0,TOC\o"1-5"\h\z1 1 1Q「"⑴在匕2］上的最大值为/(：)二一2 2 0+4(iii)当一<a<4时，*.*在一<芯<-—时,4 2af\x)>0,在正<x<2时，/V)<0,a/.〃工)在/.〃工)在［；,2］上的最大值为1(乌=地.a2a(2)设切点为("(f))，则靠二匕由%)=T,有B=T,化简得azt4—lat2,4-10=0,即.产=2或勿2=5,1-①由/W=T+2*有m^=2aT,…②由①、②解得a=2或a=--—.(3)当a=2时，/0)=]+2/,由(2)的结论直线y=4一%为曲线歹=f(x)的切线，•••/(2)=2,.•.点(2,/(2))在直线y=4—%上根据图像分析，曲线,=/(%)在线歹=4-%下方.下面给出证明：当不可，2]时，f(x)<4-x.9x 2x-8x2+：//W-(4-x)=——+= ——l+2x l+2x_2(.x-l)\x-2)― 1+2, 5当工£[g,2]时，/(x)-(4-x)<0,即/(x)二4—x.■/(不)+./(苍)+~+/(演4)W4*14_(玉+%+.?\*Xy+x2+….+/]=14,.•/&)+/&)+…+/(/)456-14=42.，要使不等式/(&)+/(%)+…+fM&.2恒成立，必须为242,又；当$"=…=%4=1时，满足条件为十用十・,=+年4=141且/&)+/(%2)+…+/(演4)=42,因此，2的最小值为42.例3、若%>0,(1=1,2,3),且火七二1,贝Uf=111111V 27l+Ml+x221+X.，：i、10

g(x)在R上连续,故g(x)白在厂争g(x)在R上连续,故g(x)白在厂争――］上是上凸的，在区间(-8,证明：设g“尸37,则短仅尸由g''(x)<o得———<x<——,g"(x)>0得x1 27,八、1 27,八、 :-w—(2-X2)，1+x? 503+：g）上是下凸的口由则平衡值1=1xo=由导数知识易求得g(x)二12在x=§处的切线为y="^(2-x)，因x()=—£[-@6].一 1在「6 1—3—1g(x)= ^在[--,—\3 3 1+x23 3上是上凸的，故g(x)=J2w(2-x)恒成27w-™l2-xi),5010

1 27 1 27 w——1+鼻 50(2-X3),三式相加并结合三工=1即得表+占527即得表+占527w一10若将该题条件改为,若、＞0,(，=123),且士茗=3时，解法同壬里。1=1此时平衡值x0=1,而g(x)=12在x=1处的切线为y=-gx+1,因xo=1E(?，+8),g(x)=1 ^在(工，+g)上是下凸的，故g(x)二TOC\o"1-5"\h\z1+x^ 33 1 1加并结合=3即得——--H——£ 1+』i+x?1 3——2-Q即得一个新的不等式：若为〉1+k2*,i=1,2,3,且t>=3,贝U/二+丁二+3 M1+可21+/21 3 2三一1+/2 2所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1o12

例4、若实数dAJ证明;abc、3 1 1 ?-cb+ca+ca+b2提示：不妨设a+b+c=1,则平衡点是x=-o3fa)>9x-l4练习1：若花”z非负，目/+fa)>9x-l4练习1：若花”z非负，目/+必+z2<2+l+z2明：m^X提示：平衡点是％=——Of(x)=—在3 1+x2TOC\o"1-5"\h\zJ3,,(4i 1 6.*=4的切线,=5欠+五'有f(x)<—x+2 12练习4：已知%分为正实数，且a+A=2,求证：1 11 1 1In1—Fli1t—I—+In-N2aabb提示：记/(%