第五部分概率统计方法

第五部分概率统计模型定义1

在统计学中，常把研究对象的全体称为总体，也称母体，而把组成总体的每个元素称为个体

。定义2从总体X中，随机地抽取n个个体，这n个个体的指标分别为,通常记为，称为总体X的一个样本

,或称子样，n称为样本的容量。

定义3

若总体X的一个样本满足代表性和独立性，则称为总体X的一个简单随机样本

，或称为来自总体X的简单随机样本。若总体X的分布函数是,由代表性知的分布函数为,再由独立性，显然可得样本的联合分布函数为

若总体X为连续型随机变量，且其密度函数为，则的联合密度函数为定义4设是来自某总体X的一个容量为n的样本，若样本函数中不含任何未知参数，则称T为统计量

。例1设总体X服从正态分布N()，其中已知参数，为未知参数，是来自总体X的样本,则，，均是统计量，而，都不是统计量。（1）、样本均值定义5设样本来自总体X，则称统计量为样本均值

。

性质1设总体X的数学期望EX＝

及方差DX＝存在，样本来自总体X，则

。（2）、样本方差定义6设样本来自总体X，则称统计量为样本方差，称为样本标准差。称统计量为修正样本方差，称为修正样本标准差。性质2设总体X的数学期望EX＝及方差DX＝存在，样本来自总体X，则。（3）、样本的相关系数定义7设是来自二维总体的一个样本，则称统计量

为样本的相关系数。定义8设样本来自总体，统计量称为样本阶矩或样本阶原点矩，其中k是正整数。而统计量

称为样本阶中心矩，其中k是正整数。（4）、样本矩定义9我们称统计量的分布为抽样分布。定理1设是来自正态总体N()的一个样本，统计量U是样本的任一确定的线性函数，即则U也是正态随机变量，即推论1设是来自正态总体N（）的一个样本，则样本均值也是正态随机变量，即推论2设是来自正态总体N（）的一个样本，则

定义10设是相互独立且服从于N（0,1）的随机变量，则称随机变量服从自由度为n的－分布，记作（2）、－分布性质3设,且和相互独立，则＋。即－分布具有可加性。定理2设是来自正态总体N()的一个样本，且则（1）；（2）与相互独立。定义11设，且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t-分布，记作（3）、t-分布性质4

t-分布的极限分布为标准正态分布N(0，1)，即定理3设是来自正态总体的一个样本，则统计量

～。（4）、F－分布定义12

设，且X与Y独立，则称随机变量服从自由度为的分布，其中m称为第一自由度，n称为第二自由度，记作。定理5

设()是来自正态总体N()时一个样本，()是来自正态总体N()的一个样本，且()与()独立，则其中，的定义同定理4。一、点估计1．矩估计法

2．最大似然估计法

例4设总体()2,~smNX，2,sm未知，()nXXX,,,21K为来自X的样本，求m和2s的最大似然估计。

二、估计的优良性准则

2．无偏性

三、参数的区间估计2．两个正态总体参数的区间估计

第三节假设检验一、假设检验的基本思想和基本概念我们把任何一个在总体未知分布上所作的假设称为统计假设，简称假设

仅涉及总体分布所包含的未知参数的统计假设称为参数假设

假设只能直接给在未知分布函数的形式上或它的某些数字特征上，我们称这样的假设为非参数假设

对于一个假设检验问题，首先要根据实际问题提出统计假设，而提出统计假设的目的是通过已经获得的样本，在原假设和对立假设两者之间作出选择或判断，称这类问题为假设检验问题。另外，在有些实际问题中，只提出一个假设，而且我们的目的也仅仅是判断这个统计假设是否成立，这类检验问题称为显著性检验。3、假设检验的步骤(1)根据实际问题提出统计假设：原假设0H和对立假设1H。

(2)选取合适的统计量T

(5)作出判断。4、两类错误

5、双侧假设检验和单侧假设检验

拒绝域分布在接受域的两侧，我们称这类假设检验为双侧假设检验。二、单个正态总体参数的假设检验三、两个正态总体参数的假设检验

第四节回归分析一、一元线性回归分析

2．回归方程的显著性检验

记统计量4．可以化为一元线性回归的曲线回归问题二、多元线性回归分析

第四节回归分析一、一元线性回归分析

问题的提出：

某商店在一周的某商品的销售量是随机的。一般情况下，每周的周末要根据商店的该商品存货多少决定是否订货和进货以供下周销售。根据经验，当存货不少于S时可以不需要进货，当存货少于S时需要进货，进货以后使下周初存量达到T。其中有订货费、贮存费、商品的价格以及缺货的损失费。问如何确定S，T，使得效益最好？这种策略称为（S，