常州市2023年中考数学试卷

常州市2023年中考数学试卷(满分：120分考试时间：120分钟)选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）-2的绝对值是（）-2B、2C、-D、计算3-（-1）的结果是（）-4B、-2C、2D、43下图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）圆柱体B、三棱锥C、球体D、圆锥体主视图左视图俯视图4、如图，数轴上点P对应的数为P，则数轴上与数-对应的点是（）点AB、点BC、点CD、点D5、如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的园周上，量直角边与圆弧分别交于点M、N，量的OM=8mm，ON=6mm，则该园玻璃镜的半径是（）cmB、5cmC、6cmD、10cm6、若，则下列不等式中不一定成立的是（）x+1>y+1B、2x>2yC、D、7、已知△ABC中，BC=6，AC=3，CPAB,垂足为P，则CP的长可能是（）A、2B、4C、5D、78、已知一次函数和二次函数的自变量和对应函数值如下表：当时，自变量x的取值范围是（）x<-1B、x>4C、-1<x<4D、x<-1或x>4填空题（本大题共10题，每小题2分，共20分）计算：=若分式有意义，则x的取值范围是分解因式：=一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是。若代数式x-5与2x-1的值相等，则x的值是。在比例尺为1:40000的地图上，某条道路的长是7cm，则该道路的实际长度是km。已知正比例函数y=ax（a0）与反比例函数（k0）图像的一个交点坐标（-1，-1），则另一个交点坐标是。如图，在圆O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=。已知x、y满足=8，当时，y的取值范围是。如图，ΔAPB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正ΔABD、正ΔAPE和正ΔBCP，则四边形PCDE面积的最大值是。三、解答题(本大题共10小题，共84分)(本小题满分6分)先化简，再求值：（x-1）（x-2）-(x+1)2,其中x=.（本小题满分8分）解方程和不等式组：（本小题满分8分）为了了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图：根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查了（）名市民；（2）补全条形统计图；（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数.（本小题满分8分）一只不透明的袋子中装有1只红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同.搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率.搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.（本小题满分8分）如图，已知中，AB=AC,BD、CE是高，BD与CE相交于点O.求证：OB=OC.若∠ABC=50°，求∠BOC的度数.24（本小题满分8分）某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元；购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元。求甲、乙两种糖果的价格；若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与X轴、y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角（30°＜＜180°），得到△.当=60°时，判断点B是否在直线上，并说明理由；连接，设与AB交于点D。当为何值时，四边形是平行四边形？说明理由。（本小题满分10分）阅读材料：教材中的问题：如图①，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为_______，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图①中用虚线补全剪拼示意图。类比解决：如图②，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE。请把纸板剩下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形。①拼成的正三角形边长为_______；②在图②中用虚线画出一种剪拼示意图。灵活运用：如图③，把一张边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨。在在图③的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度。（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）图③27（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与二次函数的图像相交于O,A两点，点A（3,3），点M为抛物线的顶点。（1）求二次函数的表达式；（2）长度为的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P，Q作x轴的垂线交抛物线于点P1,Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值。（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。28、（本小题满分10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B,C）,直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F,Q(1)、若BP=，求∠BAP的度数；(2)、若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC的长；(3)、以PQ为直径作圆M判断FC和圆M的位置关系，并说明理由当直线BD与圆M相切时，直接写出PC的长。参考答案1、B解析：本题考查了绝对值，解题的关键是理解绝对值的意义，∵-2＜0∴|-2|=-（-2）=2，故选B2、D解析：本题考查了有理数的减法运算，解题的关键是掌握减法运算法则，3－（-1）=3＋1=4，故选D3、A解析：本题主要考查的是根据物体的三视图判断其几何形状，解题的关键是理解三视图长宽高之间的联系，因为主视图和左视图都是正方形，初步判断这个几何图形可能是棱柱或圆柱，又因为俯视图是圆，我们可以准确判断出它是一个圆柱，故选A4、C解析：本题考查了实数的估算，不等式性质等知识，解题的关键是利用不等式性质求得-p/2的范围。由数轴上点P的位置可估算点P对应的数p满足1.5＜p＜2，所以-1＜-p/2＜-0.75，故选C5、B解析：本题考查了圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是确定直径的长度。∵∠MON=90°，∴MN为直径，由勾股定理，得MN=√（OM2＋ON2）=10cm，所以圆玻璃的半径是1/2×10=5cm，故选B6D解析：根据不等式的基本性质，进行判断选择即可，根据不等式的性质1，不等式两边同时加上1，不等式的方向不变，A正确；根据不等式的性质2，不等式两边同时乘以正数2，不等式的方向不变，B正确；不等式两边同时除以正数2，不等号的方向不变，C正确；当x=2，y=-3时，x＞y，但x2＜y2，∴D错误，故选D。7A解析：本题考查了点到直线的距离的定义和不等式组的应用，解题的关键是正确理解点到直线的距离的定义，因为CP⊥AB，CP的长是C到直线AB的距离，因为BC=6，AC=3，所以CP≤6解得CP≤3，故选A.CP≤38.D解析：本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答本题的关键，∵y1=kx＋m过点（-1,0），（4,5），∴-k＋m=04k＋m=5解得k=1∴y1=x＋1，∵y2=ax2＋bx＋c过点（-1,0），（3，0），m=1∴设y2=a（x+1）（x-3），又它过（4,5），∴a=1，∴y2=（x+1）（x-3），即y2=x2-2x-3，y2＞y1时，x＜-1或x＞4，故选D.9.解析：本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的化简..10.解析：本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是对分式的意义的理解和掌握.∵分式有意义，∴，解得.11.解析：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法与步骤..12.6解析：本题考查了外多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系.根据任意多边形的外角和都是360°，用360除以一个外角的度数就可求多边形的边数，∵多边形的外角和为360°，而多边形每个外角都是60°，∴边数为360°÷60°＝6，则这个多边形的边数是6.－4解析：本题考查了代数式的值和解一元一次方程，解题的关键是理解代数式的值及掌握一元一次方程的解法.根据题意得：，解得.2.8km解析：本题考查了比例尺的定义，根据比例尺的定义列方程是解题的关键.根据题意，得1:40000＝7：，即.15.（1,1）解析：本题考查了反比例函数图像的对称性，由于反比例函数的图像是中心对称图形，故经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，所以直接求出已知交点关于原点中心对称点即可.正比例函数与反比例函数图像关于原点中心对称，所以另一个交点与点（－1，－1）关于原点对称，所以另一个交点坐标是（1,1）.16.50解析：本题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质，解题的关键是找出已知角和要求的角之间的关系.因为四边形ABCD是⊙的内接四边形，所以∠A＋∠C＝180°，∠C＝180°－∠A＝110°，∵∠A与∠BOD所对的弧都是弧BCD，∴∠A＝∠BOD，∴∠BOD＝2∠A＝140°，∴∠ODC＝360°－∠BOD－∠C－∠OBC＝360°－140°－110°－60°＝50°.17.解析：本题考查了幂的性质、二元一次方程、一元一次不等式的解法，根据题意得出关于的不等式是解题的关键.由得，即，∴，，∵，∴，解得.1解析：本题考查了等边三角形的性质、不等式、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，根据题意建立不等式、转化不等式是解答此题的关键.在△APB中，∵AB＝2，∠APB＝90°，∴，∵，∴，∴,.∵△ABD、△APE和△BPC都是等边三角形，∴,，，∴.又∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，又AP＝AE，AD＝AB，∴△EAD≌△PAB，∴ED＝PB，又PB=PC，∴ED＝PC，同理，EP=DC,∴四边形PCDE是平行四边形，∴EP//DC.∵∠EPA＝∠CPB＝60°，∠APB＝90°，∴∠EPC＝360°－∠EPA－∠CPB－∠APB＝150°.∵EP//DC，∠DCP＋∠EPC＝180°，∴∠DCP＝180°－∠EPC＝30°.过P作PQ⊥DC于Q，∵∠PQC＝90°，∴PQ＝PC，即，所以四边形PCDE面积的最大值是1.解析：本题考查了整式的混合运算与求值，解题的关键是化简正确，代入准确，先根据多项式乘法法则以及公式计算，再去括号合并同类项，把原式化简，最后代入求值.解：原式，当时，原式.解析：（1）本题考查了分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验.（2）本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是准确求出一元一次不等式的解集，先分别求出各不等式的解集，再找出其公共部分即为不等式组的解集.解：（1）原方程化为，两边乘以，得，解得，检验：当时，，故是原方程的解.（2）解，得，解，得，故不等式组的解集为.解析：本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本，样本容量，样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，从统计图中求得样本容量.（1）从扇形统计图、条形统计图中找出频数、频率都已知的项目，利用公式求解：频数÷频率＝样本容量，因为看电视的人数为800，占40%，所以调查的市民总数为800÷40%＝2000（人）；（2）用频数＝样本容量×频率，求“其他”选项的人数，用样本容量减去其他各项人数得到“锻炼”选项的人数，即可补全条形统计图；（3）用抽样调查得到的样本结果估计总体即可.解：（1）2000（2）“其他”选项的人数为2000×28%＝560（人），“锻炼”选项的人数为2000－800－240－560＝400（人），补全条形如如下图.（3）调查中锻炼的人数为400，所占百分比为400÷2000＝20%，20%×480＝96（万人），故估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数有96万人.解析：本题考查了概率的计算，解题的关键是列表或画树状图列举出所有可能的结果.（1）先求布袋里球的总数、红球的个数，再根据概率公式求摸到红球的概率；（2）用画树状图或列表列举出所有可能的结果，再根据概率公式计算两次摸到的球都是红球的概率.解：（1）∵袋子中有3个球，其中有一个是红球，∴.（2）画树状图如下：由树状图可知，总共有9种结果数，两次都摸到红球的结果数是1种，.解析：本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是找出证明和求解的途径.（1）由“等边对等角”得∠ABC＝∠ACB，再根据“等角的余角相等”证明∠OBC＝∠OCB，从而得到结论.（2）利用等腰三角形性质求∠A的度数，再根据“四边形内角和为360°”求∠EOD的度数，从而求得∠BOC的度数.解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∴∠ABC＋∠BCE＝∠BCD＋∠DBC＝90°，∴∠BCE＝∠DBC，∴OB＝OC.（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠A＝80°.∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠BOC＝∠EOD＝360°－∠A－∠ADB－∠AEC＝100°.解析：本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，解题的关键是找出题中的等量关系及不等式关系。（1）①设未知数；②根据等量关系“购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元；购买1千克甲种糖果盒2千克乙种糖果共需38元”列方程组；③解所列方程组；④检验；（2）①设甲种糖果购买千克，用的代数式表示乙种糖果购买千克数；②根据“总价不超过240元”列不等式；③解不等式；④根据解集写答数。解：（1）设甲种糖果购买千克，则乙种糖果的价格是元。根据题意，得解得，故甲种糖果的价格是10元，乙种糖果的价格是14元。设甲种糖果购买千克，则乙种糖果购买（20-）千克。根据题意，得，解得，故甲种糖果最少购买10千克。25.解析：本题考查了一次函数、锐角三角函数、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识.（1）①连接O'B，求与坐标轴的交点坐标；②借助∠BAO的正切值求∠BAO的度数；③利用旋转的性质证△BAO'≌△B'AO'；④由全等得∠AO'B=90°，利用互补得到结论；（2）①由四边形ADO'B'是平行四边形，得O'B'=DA；②由旋转性质知OB=O'B'，从而OB=DA；③证明△BOD是等边三角形，从而∠ADO'=60°；④由平行四边形同旁内角互补，易得=180°—60°=120°.解：（1）当时，点B在直线O'B'上。理由如下：如图①，连接O'B，在中，令，；，∴点A、B的坐标分别为（，0）、（0，1），∴OA=，OB=1.在RtAOB中，tan∠BAO=，∴∠BAO=.∵Rt绕点A顺时针旋转得到AO'B'，∴∠BAB'=∠OAO'=,∠BAO=∠B'AO'=,∠AOB=∠AO'B'=,BA=B'A,OA=O'A,∴∠BAO'=∠OAO'-∠BAO==∠B'AO',∴BAO'B'AO',∴∠AO'B=∠AO'B'=,∴∠AO'B+∠AO'B'=,∴点B、O'、B'在一条直线上，即B在直线O'B'上.（2）当时，四边形ADO'B'是平行四边形，理由如下：∵四边形ADO'B'为平行四边形，∴O'B'=AD.又在RtAOB中，∠OAB=，∴OB=AB，又OB=O'B，∴OB=BD,∴BOD是等边三角形，∴∠ADO'=∠ODB=，∴解析：本题考查了正方形、等边三角形、风筝的拼图，解题关键是根据拼图的面积不变找到拼图的方法。（1）①利用等面积法求得拼图拼成的正方形边长；②利用勾股定理求AB的长；③以线段AB为一边作正方形；（2）①求梯形BCED的面积；②设正方形的边长为，根据“梯形面积=新等边三角形的面积”列方程求；③寻找图中等于新三角形边长对的线段，作正三角形；（3）①根据题意确定正方形剪开方式；②根据正方形性质及勾股定理求AC和EF的长度，从而求得轻质钢丝的总长度。解:（1）拼图拼成的正方形边长为，补全图形如图①所示。（2），设新正三角形的边长为，则，∴,连接BE，易得BE=，故可按图②方式剪成新正三角形BEF；（3）根据题意，一张边长为60cm的正方形彩纸是按图③方式剪开，拼成图④的，所以图④中，BD=CD=60cm，正方形对角线AC=cm，CE=CF=cm，cm，∴轻质钢丝的总长度为AC+EF=cm，故轻质钢丝的总长度是（）cm.27．解析：本题考察了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的运用、分类讨论思想、动点问题。（1）用待定系数法可以求得抛物线的解析式；（2）=1\*GB3①过点A作ABꞱx轴于点B，过点P作PCꞱ于点C，根据坐标意义及勾股定理求OA的长，假设P的坐标为（m,m）；=2\*GB3②利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求QC、PC的长，从而求得Q的坐标；=3\*GB3③用m的代数式表示的坐标以及；=4\*GB3④根据梯形的面积公式用m的代数式表示,得二次函数的解析式，并化成顶点式，邱额的四边形面积的最大值；（3）分E可能在线段OA上、线段OA的延长线上两种情况讨论，=1\*GB3①设设线段OA上存在点E符合要求，设直线AM交y轴于H，过E、F作直线EF交y轴于G，交直线AM于D，过点D作DIꞱy轴于I，连接MF。=2\*GB3②将化为顶点式求顶点坐标，从而可用待定系数法求直线AM的解析式；=3\*GB3③借助得到MF∥AE通过可得D是AM的中点，从而求得D的坐标；=4\*GB3④通过互余关系证等角，从而证明△DHI∽△GDI，得比例式求GI的长和G的坐标；=5\*GB3⑤用待定系数法求直线EF的解析式，从而可解由直线EF的解析式与OA的解析式组成的方程组求得E的坐标；=6\*GB3⑥设线段OA的延长线上存在点E符合要求，作点M关于原点的对称点,连接，过、F作直线，交直线AM于N过E、F作直线EF交AM于D；=7\*GB3⑦根据中心对称性质求的坐标，从而证明，得∥OA；=8\*GB3⑧通过△AOM∽△N证A是MN的中点求出N的坐标；=9\*GB3⑨证得点D的坐标；=10\*GB3⑩用待定系数法求直线EF的解析式，从而可解由直线EF的解析式，从而可解由直线EF的解析式与OA的解析式组成的方程组求得E的坐标，最后得出结论。图=1\*GB3①解：（1）∵二次函数的图像过点A(3，3)，∴，解得b=-2，∴二次函数的表达式是。（2）过点A作AB⊥x轴于点B，过P作PC⊥于点C，如图=1\*GB3①，∵A(3，3)，∴AB=BO=3，∠AOB=45°，OA=，∵P在y=x上，∴可设P点坐标为（m,m），∵PC∥x轴，∴∠QPC=∠AOB=45°，∴QC=PC，又∠QCP=90°，∴，即2，∴QC=2，∵长度为的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，∴.∵QC=PC=2，∴Q(m+2,m+2)。∵⊥x轴，⊥x轴，都在二次函数图像上，∴的坐标为,的坐标为。∵时，y=x图像都在图像上方，∴==，==，==，∴m=，的最大值为。(3)∵E可能在线段OA上，也可能在线段OA的延长线上，故分两种情况讨论。=1\*GB3①设线段OA上存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足，如图.设直线AM交y轴于H，过点E、F作直线EF交y轴于G，交直线AM于D，过点D作DI⊥y轴于点I，连接MF。∵，∴M(1，-1)，设直线AM的解析式为，∵它过A(3，3)、M(1.-1)，∴，解得，∴直线AM的解析式为，它交y轴于H(0，-3)，∴OH=3，∵E关于直线MA的对称点为F，∴EF⊥AM,ED=DF,∵,∴MF∥AE,∴∠EAD=∠FMD,又∠ADE=∠MDF，∴，∴AD=MD,∴D是AM中点，∵A(3，3)、M(1.-1)，∴D(2，1)，∴DI=2,IO=1,∴IH=IO+OH=4,∵EF⊥AM,∴∠GDH=90°，∴∠DHI+∠DGI=90°，∵DI⊥GH,∴∠DIH=∠DIG=90°,∴∠DHI+∠IDH=90°,∴△DHI∽△GDI,∴,,∴GI=1,∴GO=2,∴G(0,2),设直线EF的解析式为，∵它过G(0,2)、D(2，1)，∴，解得,∴直线EF解析式为，解方程组，得，∴E();图=2\*GB3②图=3\*GB3③=2\*GB3②设线段OA的延长线上存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足，如图=3\*GB3③，作点M关于原点的对称点,连接，过、F作直线，交直线AM于N过E、F作直线EF交AM于D，∵M、关于原点对称，∴（-1，1），M、、O都在直线上，OM=O，由OA解析式为易知OM⊥OA∴又，∴，得∥OH，∴△AOM∽△N，∴,∴A是MN的中点,∵A(3，3)、M(1.-1)，∴N(5,7).∵E关于直线MA的对称点为F，∴EF⊥AM,ED=DF,∴∥AE,∴∠EAD=∠FND,又∠ADE=∠NDF，∴，∴AD=ND，∴D是AN的中点，∵A(3,3)、N(5,7),∴D(4,5),设直线EF的解析式为，它过点D(4,5),且平行于直线，∴，解得，解方程组，得，∴E（）。综上，直线OA上存在点E的坐标为()或（），使得点E关于直线MA的对称点F满足。28.解析：本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、三角形全等的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是借助相似建立方程模型求线段长。（1）借助求锐角的正切函数值来求该锐角；（2）=1\*GB3①设CP=x，结合三角形全等，用x的代数式表示CG、DG的长度；=2\*GB3②利用两角对应相等证明△QCP∽△QGF,得比例式,用x的代数式表示GF的长度；=3\*GB3③同理得，证明GF=DG；=4\*GB3④借助相等关系”GF=DG”列方程求x得PC的长；（3）=1\*GB3①连接CM，利用“SAS“证△BAF≌△BCF，得∠BAF=∠BCF；=2\*GB3②利用平行线性质与等腰三角形性质证∠CQP=∠MCQ；=3\*GB3③借助直角利用等量代换证明∠FCM=90°，从而得到结论；=2\*GB3②（i）=1\*GB3①当点P在线段BC上且直线BD与⊙M相切时，设切点是H，连接HM，连接AC交BD于点O，证△AOF∽△MHF得比例式,；=2\*GB3②利用”SSS“证△MHF≌△MCF得∠HMF=∠CMF，代换得∠CMF=∠MAC，从而AC=CM=MH；=3\*GB3③借助正方形性质的AO=MH，转化得到OF=FC；=4\*GB3④设OF=m(m>0),借助勾股定理列方程求m,从而得到OF、BF、DF的长；=5\*GB3⑤由BP∥AD得△AFD∽△PFB，得比例式求PB的长，进而求得PC的长；（ii）当点P在线段BC的延长线上且直线BD与⊙M相切时，同理同求出此时PC的长。解：（1）在正方形ABCD中，AB=1，BP=，∠ABP=90°，∴tan∠BAP==,∴∠BAP=30°。（