2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1.2空间中直线与直线之间的位置关系5作业含解析新人教版必修220220226110_第1页
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文档简介

PAGEPAGE6空间中直线与直线之间的位置关系[基础巩固]1.(2016·台山一中)用M表示平面,a表示一条直线,则M内至少有一条直线与a()A.平行 B.相交C.异面 D.垂直解析:如果a表示一条与平面相交的直线,则A不正确;如果a表示一条与平面平行的直线,则B不正确;如果a表示一条平面内的直线,则C不正确,故选D.答案:D2.已知空间四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,则下列判断中正确的是()A.MN≥eq\f(1,2)(AC+BD) B.MN≤eq\f(1,2)(AC+BD)C.MN=eq\f(1,2)(AC+BD) D.MN<eq\f(1,2)(AC+BD)解析:如图,取BC的中点E,连接ME、EN,则ME綊eq\f(1,2)AC,EN綊eq\f(1,2)BD,且ME+EN>MN,∴MN<eq\f(1,2)(AC+BD).答案:D3.在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=eq\r(3),且AD⊥BC,BD=eq\f(\r(13),2),AC=eq\f(\r(3),2),求AC和BD所成的角的大小.

解:如图,取AB,CD,AD,AC的中点E,G,F,H连接EF,FG,GE,EH,HG,由中位线的性质,得EF綊eq\f(1,2)BD,FG綊eq\f(1,2)AC,则∠EFG为BD与AC所成的角(或其补角),又EH∥BC,HG∥AD,且AD⊥BC,所以EH⊥HG,所以EG2=EH2+HG2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD))2=eq\f(1,4)×(eq\r(3))2+eq\f(1,4)×12=1.在△EFG中,EG2=EF2+FG2=1,所以∠EFG=90°,即AC和BD所成的角为90°.[能力提升]1.空间中,垂直于同一条直线的两条直线()A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能解析:可能平行,可能相交,也可能异面,故选D.答案:D2.(2016·巴东一中)给出下列两个关于异面直线的命题:命题(1):若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,那么c至多与a,b中的一条相交;命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线.那么()A.命题(1)正确,命题(2)不正确B.命题(2)正确,命题(1)不正确C.两个命题都正确D.两个命题都不正确解析:如图所示,当c与a,b都相交,但交点不是同一个点时,平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线,因此命题(1)不正确;(2)可以取无穷多个平行平面,在每个平面内取一条直线,且使这些直线两两不平行,则这些直线中任意两条都是异面直线,因此命题(2)不正确.故答案为D.答案:D3.E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点,若BD=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为()A.2 B.4C.6 D.8解析:如图,在△ABD中,E、H分别是AB、AD的中点,则EH綊eq\f(1,2)BD;在△CBD中,同理,FG綊eq\f(1,2)BD,从而EH綊FG.同理可得EF=GH=eq\f(1,2)AC,所以四边形EFGH为平行四边形,周长为2(EH+EF)=6.答案:C4.(2015·吉林扶余一中期末考试)如图,在三棱锥S­ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BCA.相交 B.平行C.异面 D.以上都有可能解析:∵G1,G2是重心,∴G1G2∥MN,而MN∥BC,∴G1G2∥答案:B5.(2015·浙江省镇海中学期末考试)如图,在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为A1CC1的中点,则异面直线BC1与AEA.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(30),10)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(3\r(10),10)解析:连接AD1,D1E,因为AD1∥BC1,所以∠D1AE是异面直线BC1与AE所成的角.在△D1AE中,可以求得AD1=eq\r(5),AE=eq\r(6),D1E=eq\r(5),所以△D1AE为等腰三角形,从而求得∠D1AE的余弦值为eq\f(\r(30),10),故选B.答案:B6.如图,若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.解析:①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG、NM必相交,②④正确.答案:②④7.如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1(1)AC与DD1所成的角为________;(2)AC与D1C1(3)AC与B1D1所成的角为________;(4)AC与A1B所成的角为________;(5)A1B与B1D1所成的角为________;(6)A1B与CC1所成的角为________.解析:(1)DD1和AC是异面直线,因为AA1∥DD1,AA1⊥AC,∠A1AC=90°,所以DD1和AC所成的角是90°;(2)因为DC∥D1C1,所以∠ACD是AC和D1C1所成的角,又因为∠ACD=45°,所以AC和D1C1所成的角是45°;(3)连接BD,因为BD∥B1D1,所以AC与BD所成的角就是AC和B1D1所成的角,又因为AC⊥BD,所以AC与B1D1所成的角是90°;(4)连接A1C1,BC1,则△A1BC1是等边三角形,又因为A1C1∥AC,所以∠BA1C1是AC和A1B所成的角,又因为∠BA1C1=60°,所以AC和A1B所成的角是60°;(5)连接A1D,则△A1BD是等边三角形,∠A1BD=60°,又因为BD∥B1D1,所以∠A1BD是A1B和B1D1所成的角,即A1B和B1D1所成的角是60°;(6)因为BB1∥CC1,所以∠A1BB1是A1B和CC1所成的角.又因为∠A1BB1答案:(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°(5)60°(6)45°8.(2016·如东高级中学)已知a,b为异面直线,且a,b所成的角为40°,过空间一点作直线c,直线c与a,b均异面,且所成的角均为θ,若这样的直线c共有四条,则θ的取值范围为________.解析:设平面α上的两条直线m,n分别满足m∥a,n∥b,则m,n相交,且夹角为40°.若直线c与a,b均异面,且所成的角均为θ,则直线c与m,n所成的角均为θ.当0°<θ<20°时,不存在这样的直线c;当θ=20°时,这样的直线c只有一条;当20°<θ<70°时,这样的直线c有两条;当θ=70°时,这样的直线c有三条;当70°<θ<90°时,这样的直线c有四条;当θ=90°时,这样的直线c只有一条.故θ的取值范围为(70°,90°).答案:(70°,90°)9.如图,△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O,且eq\f(AO,OA′)=eq\f(BO,OB′)=eq\f(CO,OC′)=eq\f(2,3).(1)求证:A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC;(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值.解:(1)∵AA′∩BB′=O,且eq\f(AO,A′O)=eq\f(BO,B′O)=eq\f(2,3),∴AB∥A′B′,同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB,A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反,∴∠BAC=∠B′A′C′.又∵eq\f(AO,OA′)=eq\f(BO,OB′),∠AOB=∠A′OB′,∴△AOB∽△A′OB′.∴eq\f(AB,A′B′)=eq\f(AO,A′O).同理可证eq\f(AO,A′O)=eq\f(AC,A′C′),∴△ABC∽△A′B′C′.∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AO,A′O)))2=eq\f(4,9).10

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