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文档简介

第三节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用2023/2/21.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xoy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.

求曲面二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且例2.设半径为r的球，其球心在半径为a的定球面上.求r的值，使得半径为r的球的位于定球内部的部分的面积最大。解:两球的交线为建立坐标系.三、平面薄板的质量、质心与形心设平面有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设平面薄板占有区域D

,有连续密度函数分别位于为为将D

分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点同理可得则得形心坐标：2、形心坐标

当积分区域为规则图形（面积与形心坐标很容易得到）时，可用面积与形心坐标表示二重积分。即注：重积分计算的基本技巧1、利用对称性

例3.求位于两圆和的质心.解:利用对称性可知而之间均匀薄片例4.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标四、平面薄片的转动惯量位于(x,y)处的微元因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.平面薄片,面密度为例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量

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