第七章应力、应变状态分析

第七章应力与应变状态分析第七章应力与应变状态分析材料力学1第七章应力与应变状态分析§7—1应力状态概述§7－2平面应力状态分析——解析法§7－3平面应力状态分析——图解法§7－4梁的主应力及其主应力迹线§7－5三向应力状态研究§7－6平面应力状态下的应变分析§7－7复杂应力状态下的应力--应变关系§7－8复杂应力状态下的变形比能小结第七章应力与应变状态分析2§7—1应力状态概述一、基本概念：铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？FF铸铁拉伸F铸铁压缩铸铁第七章应力与应变状态分析3组合变形杆将怎样破坏？ＭF1、应力状态：构件内任意一点处取一单元体，单元体上的应力。σmax？

τmax？2、一点处应力状态：构件内通过一点各个方向的应力的总称。3、研究的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。4、研究方法：取单元体。第七章应力与应变状态分析4FF单元体的概念：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体上应力的性质：每个面上的应力均布，每对相平行面上的应力大小、性质完全相同。Aσατα5、主平面：切应力等于零的面。6、主应力：主平面上的应力（正应力）。7、主单元体：由主平面组成的单元体。主应力排列规定：按代数值由大到小。第七章应力与应变状态分析5301050单位：MPaσ1=50MPa；σ2=10MPa；σ3=-30MPa。3010σ1=10MPa；σ2=0MPa；σ3=-30MPa。8、画原始单元体：例：画出下列图中的a、b、c点的已知单元体。aaFF第七章应力与应变状态分析6xyzＭbCbbσxxyzbCFL第七章应力与应变状态分析7b

xssxxyzＭbcＭ0二、应力状态的分类：1、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。2、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。第七章应力与应变状态分析8平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在切应力无正应力。第七章应力与应变状态分析9§7－2平面应力状态分析——解析法一、任意斜面上的应力计算s

xt

xys

y第七章应力与应变状态分析平面应力状态：一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这对平面。10s

xt

xys

y图1nt设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：第七章应力与应变状态分析11考虑切应力互等和三角变换，得：——任意α斜面应力的计算公式第七章应力与应变状态分析12符号规定：、“”正负号同“”；

、“ta”正负号同“t”

；

、“a”为斜面的外法线与Χ轴正向的夹角，由Χ轴逆时针转到斜面为正，顺时针为负。二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）注意：用公式计算时代入相应的正负号规律：1、σ的极值及所在平面（主应力，主平面）第七章应力与应变状态分析13——主平面的位置——主应力的大小α0α0最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0”表示。简易判断规律：由τ的方向判断。第七章应力与应变状态分析142、τ的极值及所在平面——最大切应力所在的位置——xy面内的最大切应力——整个单元体内的最大切应力最大切应力与X轴的夹角规定为“α1”第七章应力与应变状态分析15t

xyt

yx例：如图所示单元体，求主应力及主平面。解：1、主应力2、主平面σ1σ34503020单位：MPaσ1、σ2、σ3

？第七章应力与应变状态分析16例：如图所示单元体，求α斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：1、α斜面的应力第七章应力与应变状态分析172、主应力、主平面σ1=80.7（MPa）；σ2=0；σ3=-60.7（MPa）。405060σ1σ3α0σ1；σ2；σ3？90405060（单位：MPa）第七章应力与应变状态分析18§7－2-（2）平面应力状态分析——应力圆法（图解法）对上述方程消参（2），得：——应力圆方程（莫尔圆）一、基本原理：圆心：半径：第七章应力与应变状态分析19二、应力圆的绘制：1、取直角坐标系σοτ。2、取比例尺（严格按比例做图）。3、找点4、连交σ轴于C点，以C为圆心，CD为半径画圆——应力圆。stoD/B1B2D第七章应力与应变状态分析20三、证明：既圆心：既半径：stoDD/B1B2A1A2第七章应力与应变状态分析21四、计算：1、以D为基点，转2α的圆心角至E点，转向同单元体上的方向。stoDD/B1B2A1A2E2α2α02、主应力3、主平面以D为基点，转到A1点，其圆心角为2α0，逆时针时α0为“＋”；顺时针时α0为“－”。（α0——主平面的位置)。第七章应力与应变状态分析22stoDD/B1B2A1A24、切应力的极值及所在位置G1G22α1以D为基点，转到G1点，其圆心角为2α1。由应力圆可证明——最大正应力与最大切应力所在平面相差450第七章应力与应变状态分析23stoDD/B1B2A1A22α0E2αF证明：（2α角的关系）证毕第七章应力与应变状态分析241、应力圆上的点与单元体上的面相对应，点的坐标即为单元体面上的应力值。2、应力圆上两点对应的圆心角为“2α”，单元体上两面的夹角“α”，且两者转向相同。五、注意第七章应力与应变状态分析25408060例：求α=300斜面的应力及主应力、主平面（单位：MPa）。2α0600E（σ300；τ300）FA1A2τσODD/C2、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应的应力圆第七章应力与应变状态分析26例：求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)CAB2β

02、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应的应力圆第七章应力与应变状态分析60°β

0

1

230°27解析法：（分析思路）xyo60°第七章应力与应变状态分析

28§7－4梁的主应力及其主应力迹线Fqx12345yo

x

y3

x

x

y2

x1taosataosataosa123

1

3

1

3第七章应力与应变状态分析29

x5

x

x

y4taosa4taosa5

1

3

1

3主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包洛线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。

1

3实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。第七章应力与应变状态分析30xy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3

1

3第七章应力与应变状态分析31§7－5三向应力状态的最大应力stoX—Y平面内任一斜面的应力与σ1—σ2圆周上的点对应。Y—Z平面内任一斜面的应力与σ1—σ3圆周上的点对应。Z—X平面内任一斜面的应力与σ2—σ3圆周上的点对应。第七章应力与应变状态分析32：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b：整个单元体内的最大切应力为：231sst-=maxtmax结论——第七章应力与应变状态分析33例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：、由单元体知：z—y面为主面之一、建立应力坐标系如图，画y—z应力圆及三向应力圆得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax第七章应力与应变状态分析34解析法——1、由单元体知：x面为主面之一。2、求y—z面内的最大、最小正应力。xyz305040CBA单位：（MPa）3、主应力4、最大切应力231sst-=max第七章应力与应变状态分析3520030050otmax第七章应力与应变状态分析36O2005030050第七章应力与应变状态分析37O30050第七章应力与应变状态分析38§7－6平面应力状态下的应变分析一、应变计算公式规定：线段伸长正应变为正；直角增大切应变为正。条件：弹性、小变形。已知：εx、εy、γxy。求：εα、γα。（设OB=dS）分析：1、在εx作用下——BCOADB1θ1A1εxdxxyodxdy第七章应力与应变状态分析39BCOADB2θ2C2εydy2、在εy作用下——3、在γxy作用下——第七章应力与应变状态分析B3C3Dθ3γxyBCOA404、叠加XYBB0θCDD0θ1αγα=θ1-θ第七章应力与应变状态分析41第七章应力与应变状态分析42二、主应变数值及其方位第七章应力与应变状态分析43三、应变分析图解法——应变圆具体作法同应力圆四、应变分析的应用：一点处贴一应变花第七章应力与应变状态分析44§7－7各向同性材料的应力--应变关系

——（广义胡克定律）一、单向应力状态：

二、二向应力状态：1

2

1

2

=+第七章应力与应变状态分析45三、三向应力状态：1

2

31

2

=+3+——（广义胡克定律）第七章应力与应变状态分析46四、注意：1、与相对应，方向一致（代数值大小排列）。

2、“σ”连同符号代入，“ε”得“＋”值时为拉应变；“ε”得“－”值时为压应变。3、“σ”、“τ”同时存在时，“τ”对“ε”无影响，“σ”对“γ”无影响。“σ123”可由“σxyz”替换。4、使用条件：弹性、小变形、各向同性材料。第七章应力与应变状态分析47主应力与主应变方向一致?xyzxxyzyβ-α=±900s

xt

xys

yαβ第七章应力与应变状态分析48五、体积应变a3123a1a2体积应变：体积应变与应力分量间的关系:——体积胡克定律第七章应力与应变状态分析49§7－9复杂应力状态下的变形比能一、概念：1、应变能：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量。弹性应变能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量。2、应变能的计算：利用能量守恒原理能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。

Vε=W3、应变能密度：单位体积的应变能。v=Vε/V第七章应力与应变状态分析50二、弹性应变能、应变能密度的计算公式：1、单向拉压应力状态：2、扭转纯剪切应力状态：3、三向应力状态：

2

3

1第七章应力与应变状态分析51

2

3

1图a

av

av

av图b

2

3

1-

av-

av-

av图c图b体积改变，形状不变；图c形状改变，体积不变。第七章应力与应变状态分析52231-av-av-av图c——称为形状改变比能、畸形能或歪形能

av

av

av图b第七章应力与应变状态分析53例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

3=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。yx，所以该点处的平面应力状态第七章应力与应变状态分析54第七章应力与应变状态分析55例：已知二向应力状态σ1≠0，σ2≠0，σ3=0，ε1，ε2。问：ε3=-μ（ε1+ε2）？解：由广义胡克定律知F例：如图所示，立方体边长为10cm，F=6kN，E=70GPa，μ=0.33，假设钢槽不发生变形。求：立方体的主应力。解：1、分析立方体的应力状况y

x

z第七章应力与应变状态分析56y

x

z2、立方体的主应力3、讨论：立方体各边的改变量第七章应力与应变状态分析57例：如图所示拉杆，横截面为圆形D=2cm，E=2.1*106MPa，μ=0.28，ε600=4.1*10-4。求：F。600XAFσyA解：1、取单元体2、应力与应变的关系3、外力的确定F=3980（kN）第七章应力与应变状态分析58例：如图所示空心圆轴，外经D=120mm，内经d=80mm，E=2.0*105MPa，μ=0.28，ε450=2.0*10-4。求：m。解：1、取单元体2、应力与应变的关系3、外力的确定τX450σ450450mm=8504（Nm）第七章应力与应变状态分析59例：图示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25。试求:1．导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力.lmstspＤ第七章应力与应变状态分析60ＤpD2４解：1、容器的轴向应力和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图所示（1）、轴向应力mm)Dp(ms第七章应力与应变状态分析61pDl用纵截面将容器截开，受力如图所示（2）、环向应力t

(2

l)ttpL第七章应力与应变状态分析622312、求内压（以应力应变关系求之）pＤmsts第七章应力与应变状态分析63xyＡ13用能量法证明三个弹性常数间的关系。、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体比能的主应力表示为：用广义虎克定律证明三个弹性常数间的关系。第七章应力与应变状态分析、纯剪单元体、纯剪单元体主应力广义虎克定律表示为：64小结一、基本概念：1、应力状态：构件内任意一点处取一单元体，单元体上的应力。2、一点处应力状态：构件内通过一点各个方向的应力的总称。3、研究的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。4、研究方法：取单元体。5、主平面：切应力等于零的面。6、主应力：主平面上的应力（正应力）。7、主单元体：由主平面组成的单元体。第七章应力与应变状态分析65二、应力状态的分类：1、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。2、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。（一）、解析法三、平面应力状态的计算：1、任意斜面上的应力计算重点第七章应力与应变状态分析662、主应力，主平面3、τ的极值及所在平面第七章应力与应变状态分析671、基本原理：圆心：