第二章 流体力学

第二章流体的运动

CHPTER2MOTIONOFFLUIDS物态(matterstate)在很小的力的作用下，各部分之间有相对运动。固态solidstate液态(liquidstate)气态gaseousstate物体内部各部分之间有相对运动的特性称为流动性(flowability)研究流体性质和规律的学科称为流体力学（hydromechanics）流体力学（hydromechanics）流体静力学（hydrostatics）流体动力学（hydrodynamics）液体和气体都具有流动性，统称为流体。具有流动性的物体称为流体（fluid）第一节理想流体的流动

2.1

Flowof

Idealfluid一、理想流体（IdealFluid）实际流体(realfluid)流动性(flowability)粘滞性(viscosity)压缩性(compressibility)突出忽略理想流体（IdealFluid）无内摩擦、不可压缩的流体称为理想流体二、定常流动（Steadyflow）

1.定常流动（Steadyflow）流体粒子（fluidparticle）以流体粒子在空间的运动速度随时间变化的规律为研究对象在给定的空间点（x，y，z），所有通过该点的流体粒子的速度v可随时间变化v=f（t）在给定时刻t，通过空间各点的流体粒子的速度可能相同，也可能不同

v=f（x，y，z)流体粒子的速度就代表了粒子所在处的流体的速度，它是空间坐标（x，y，z）和时间t的函数，即v=f(x，y，z，t)流体所占空间称为流体速度场（speedfieldoffluid），简称流速场或流场（fluidfield）密度ρ

，压强P，等都是时间和空间的函数ρ=f(x,y,z,t)P=f(x,y,z,t)2.定常流动（steadyflow）流体场中各点的速度不随时间而变的流动叫做定常流动，又叫做稳定流动v=f(x,y,z)3.流线和流管（streamlineandstreamtube）任一时刻，在流场中画出一组曲线，曲线上的切线方向与流经该点的流体粒子的速度方向相同，这样的一组曲线称为该时刻的流线。（1）流线（streamline）★稳定流动时流线的特点：（1）任何两条流线不相交；（2）流线形状不随时间而变，流线就是流体粒子的运动轨迹；（3）流线上各点的流速可以不同，但各点的流速不随时间而变。（2）流管(flowtube)由流线围成的管状体称为流管。★定常流动时流管的特点：①流管内外的流体不能交换；②流管的形状不随时间而变。第二节连续性方程（equationofcontinuity）1、连续性方程（equationofcontinuity）在时间

t

内,通过S2面的流体体积流出S1S2段通过S1面的流体体积进入S1S2段S2S1(

t0)S1v1t质量m1=1S1v1

tS2v2

t质量m2=2S2v2

t2.质量流量（massflowrate）m1=m2上式叫做流体作稳定流动时的连续性方程单位时间内通过截面的流体质量称为质量流量，用M表示连续性方程又称为质量流量守恒定律。M=ρSv单位:kg·s-11S1v1=

2

S2v2

Sv=M（constant）3.体积流量（volumetricflowrate）不可压缩的流体，1=

2

Sv=Q（constant）S1v1=S2v2

上式为不可压缩的流体的连续性方程。适用于不可压缩的流体的稳定流动。Q表示单位时间内通过流管内任一截面的流体积，称为体积流量，简称流量。当流体的实际流体时，由于在同一截面处中心和边缘部分的流速不同，截面速度用平均速度。单位：m3·s-1在同一流管的任一截面处，截面积和速度的乘积不变，上式是连续性方程的一种特殊形式，又称为体积流量守恒。S1v1=S2v2Sv=Q（constant）上式表明，截面积与流速成反比。对于不可压缩的流体，不仅质量守恒，体积流量也守恒。流管粗处，流速小，流线稀疏，S0，v0S1，v1S2，v2Sn，vnQ=S0v0=S1v1+S2v2+…+Snvn当流管有n条分支时，连续性方程为流管细处，流速大，流线密集。应用连续性方程解释血流速度的变化规律主动脉毛细血管大动脉小动脉静脉腔静脉速度速度30cm·s-15cm·s-11mm·s-1

18cm2

3cm2

900cm2面积主动脉毛细血管腔静脉第三节伯努利方程及其应用

2.3

Bernoulli'sequationanditsapplication一、伯努利方程（Bernoulli'sequationanditsapplications）伯努利方程（Bernoulli'sequation）

任意选取流体段S1S2作为研究对象x:y:P1,v1,S1,h1

P2,v2,S2,h2该流体段受力有：重力(gravity)：外力(externalforce)：x端处的压力为F1y端处的阻力为F2F1=P1S1与v的方向一致F2=P2S2与v的方向相反作功为0经过时间t内（t

0）x端移动距离为v1△tA1=F1v1

ty端移动距离为v2

tA2=F2v2t为正为负xy段流体移动到xy位置F1作的功W1为F2作功为A2为=P1S1v1t

=P2S2v2t

外力作的总功为：A=A1+A2

机械能的增量

ES1v1

t=S2v2

t=VA=E

=P1S1v1

t+P2S2

v2

t=P1V-P2VE=E2-E1体积V中的质量为mE=E2-E1将W和E代入W=△E得到

动能重力势能压强能令或单位体积的动能叫做动压强（dynamicalpressure），简称动压单位体积的压强能称为静压强（staticpressure），简称静压或压强。单位体积的重力势能称为位压强（potentialpressure），简称位压=m/V表示流体的密度得伯努利方程2.方程适用条件（appliedconditionsofBernoulli'sequation）：伯努利方程表明:①理想流体的稳定流动；②同一细流管的各个截面或同一流线上的各点。

理想流体在给定的流管中作稳定流动时，单位体积的动能、单位体积的重力势能和单位体积的压强能三者可以互相转换，但其总和保持恒定不变。例:设流量为0.12m3s-1的水（理想流体）流过如图所示的管子。B点比A点高2m，A点的截面积为100cm2，压强为2×105Nm-2。B点的截面积为60cm2。求两点的流速和点B的压强。解：选取通过A点的平面作为参考平面hA=0，hB=2m根据连续性方程由伯努利方程可得3.水平管中的伯努利方程（Bernoulli'sequationappliedtohorizontaltube）水平管结论：流管粗处流速小、压强大；流管细处流速大、压强小。h1=h2伯努利方程变成计示压强(gaugepressure)P=P-P0=ghh为管中液柱高度绝对压强P与气体的压强P0的差值叫做计示压强，即二、伯努利方程的应用（ApplicationofBernoulli′sequation）1.空吸作用(suction)在管子很狭窄处，当流速很大时，可能出现压强小于大气压，此时狭窄处具有吸入外界液体或气体的作用的现象叫做空吸作用。如喷雾器、水流抽气机等2.流量计（flow-meter）S1v1=S2v2流管中1点的流速v1为流管中的流量Q为①测量液体的流速和流量（measurementofspeedandflow-rateofliquid）hP1-P2=g(h1-h2)=ghh为两液柱的高度差h=h1-h2液体的流量Q为②测量气体的流速和流量（measurementofgaseousspeedandflow-rate）=ghP1=P0+

gh1P2=P0

-

gh2P1-P2=g(h1+h2)为U型管中的液体的密度流速流量3.流速计（currentmeter）A1A2①测液体流速（speedofliquidsmeasured）流体在A2处受阻,形成流速为零的“滞止区”。流管的速度vA1处的流速v1v1=vA2处的流速v2v2=0动压强在A2处全部转化成了静压强。h是两管中液柱的高度差

A1A2A1A2v是管中液体的速度。将L1和L2管的组合体叫做皮托管（Pitottube）②测气体流速（speedofgasesmeasured）为气体密度为U形管中液体密度4.虹吸管（siphon）用于排出不能倾斜的容器中的液体的管道叫做虹吸管。hA（1）流体流速（velocityoffluid）选取A点D点为考察点PA=PD=P0SAvA=SBvBSA>>SBvA<<vB（2）压强与高度的关系(relationbetweenpressureandheight)

在虹吸管中，选取B、C两点作为研究对象高处的压强较小，而低处的压强则较大。

vB=vC

hC

hB

选择A、B两点作为研究对象vA

<<vBPA=P0hAhB

PB=0时，有最大值只有液体才能通过B点从虹吸管中流出。对水而言，

hB–hA=10m例1：水（理想流体）在截面不同的水平管中作定常流动，出口处的截面积为管的最细处的3倍，若出口处的流速为2ms-1，问最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水会不会流出来。解：3S1=S2由S1v1=S2v2得S1v1=3S1v2v1=6m·s-1=3S1×2出口处的压强=8.53×10-4Pa若在此最细处开一小孔，水不会流出来。

P2=P0

例2.：如图所示，两个很大的开口容器B和F，盛有相同的液体，由容器B底部接一水平管子，水平管的较细部分C处连接到一竖直的E管，并使E管下端插入容器F的液体内。假设液体是理想流体做稳定流动。如果管C处的横截面积是D的一半，并设管的D处比容器B内的液面低h。求E管中液体上升的高度H。解：根据题意SD=2SC，vC=2vD利用伯努利方程可得vD为对C管和D管的出口处的伯努利方程为PD=P0对C点PC=P0

-

gH

=P0

-3ghH=3h第四节粘性流体、层流、湍流

2.4viscousFluid\laminarflow\Turbulentflow一、牛顿粘性定律（Newtonviscositylaw）1.层流（laminarflow）实际流体流动时的分层流动状态称为层流，又称为片流（稳定流动）2.粘性力（viscousforce）流体作层流时，相邻两层之间存在着切向的相互作用力，叫做粘性力或内摩擦力3.速度梯度（velocitygradient）

FF表示流体沿x方向，在x的距离内的平均流速变化率表示x处的流层的流速沿x方向的变化率，称为x方向的速度梯度。

x0时v+vv，速度梯度的大小反映了在x方向，相邻流层的流速变化快慢的程度。粘性流体在层流时，越靠近轴心处的速度梯度越小，越靠近管壁处的速度梯度越大。4.牛顿粘性定律(Newtonianviscouslaw)FS牛顿粘滞定律FFS为相邻两层接触面积为x处的速度梯度5.粘滞系数（viscouscoefficient）在牛顿粘性定律中的比例系数称为粘滞系数，它表示流体的粘性程度，因而又称为粘度（viscosity）表示流体流动时，单位面积上单位速度梯度具有的粘滞力的SI单位：粘滞系数与物质的种类有关，与温度有关液体的随温度的升高面降低，气体的随温度的升高而升高。pa·s专用单位P（泊）1Pa·s=10P液体温度(ºC)粘滞系数(×10-3Pas)液体温度(ºC)粘滞系数(×10-5Pas)水01.792空气01.71201.005201.82400.6561002.17酒精01.77氢气200.88201.192511.3蓖麻油17.51225.0氦气201.96血浆30122.7甲烷201.10血清371.0~1.4二氧化碳201.47370.9~1.23202.7表2-1一些液体的粘滞系数二、湍流、雷诺数（turbulentflow/Reynoldnumber）

1.湍流(Turbulentflow)流体杂乱无章的紊乱流动称为湍流（非稳定流动）

A2.雷诺数（Reynoldnumber）

Re<1000,层流Re>1500,湍流1000<Re<1500,流动状态不稳定3.层流和湍流的不同（thedifferencebetweenthelaminarflowandtheturbulentflow)（1）层流速度小，流线形状不随时间而变，（2）湍流消耗的能量比层流大。湍流速度大，各层之间混杂，内摩擦力急剧增大，克服这些内摩擦力作功时要消耗较大的能量。（3）湍流有声，湍流速度大，流线形状要随时间而变。层流无声。三、粘性流体的伯努利方程（Bernoullisequationofviscousfluids）w为单位体积的流体从流管截面x流到截面y时因克服内摩擦力作功所损失的能量

=+w=在等粗的水平流管中h1=h2v1=v2粘性流体的伯努利方程变为P1=P2+w

w

=P1-P2P1、P2是长为L两端的压强沿着流体流动的方向，压强降低P1>P2减小的压强为克服流体流动时的内摩擦力而作的功。粘性流体流动时，在水平管的两端或任意两个截面之间必须存在着压强差。否则就不能流动。四、泊肃叶定律

（Poiseuille’slaw）1.泊肃叶定律（Poiseuille’slaw）

泊肃叶研究血液流动时，发现液体在等粗的圆管中做稳定流动时，液体的流量Q维德曼从理论上推导得到上式的比例系数为/8，上式变为

图所示的是粘性液体在粗细均匀的水平圆管中作层流时的是流体的粘滞系数在粗细均匀的水平圆管内作层流的粘性流体，流体流经长为L、半径为R的水平圆管时，流速随半径变化的关系P1、P2是长为L两端的压强。

将泊肃叶公式变换成表示单位长度的压强差或压强降落，叫做压力梯度对于一定的管道和一定的流体，是一个常数。如果能量集中在某些局部位置，这时的能量损失叫做局部能量损失。表示单位长度压强差相等，也表示单位体积的流体在单位长度上损失的能量相同。这种能量损失叫做沿程能量损失。如弯管处，截面积突变处等的能量损失。例：

如图所示装置中，在等截面水平管上安装等距离的竖直细管，其液面高度可表示该截面处的压强，当水平管中的流速为v时，求水槽液面高度h为。解：对1点和2点的粘性流体的伯努利方程=h1=H，v1=0，h2=0，v2=v，P1=P2=P012hH12hH单位长度损失的能量为流体在整个4a长的管损失的能量为当h=5cm，v=1m·s-1，时（g=10m·s-2）五、斯托克斯定律

1.斯托克斯定律(Stoke’sLaw)为流体的粘滞系数f=6vR2.收尾速度（terminalvelocity）半径为r的球形物体在粘滞系数为的流体中以速度v运动时，除了受到的阻力f外，还要受到重力和浮力的作用。当合力为零的速度叫做收尾速度或沉降速度。R为球体的半径v为球体的运动速度fvR三个力阻力fF浮力G重力f+F-G=0v称为收尾速度或沉降速度（sedimentationvelocity），f=6vRF=4R3

/3G=4R3/3为物体的密度为流体的密度1.下列各种情况的流体的运动状态是：（b）答案（a）A；（b）D；（a）A.理想流体稳定流动；B.实际流体稳定流动；C.实际流体的湍流；D.流体静止讨论实际流体稳定流动时，斜虚线能否出现（b）的情形，为什么？（b）（a）2.水在粗细均匀的虹吸管中流动时，图中1，2，3，4点的压强关系是：答案：CA.P1=P4>P2>P3；B.P1>P2=P3>P4；C.P1=P4>

P2=

P3；D.P1>P2>P3>P4。••••12342.如图所示，粘滞流体在等粗水平圆管中作稳定流动，流动的方向向右。ABCD是上下两面与流速方向平行的小液片，设小液片上下两面所受的粘滞力分别为FAB与FCD,则BA.FAB向左，FCD向右，FCD=FAB；B.FAB向左，FCD向右，FCD<FAB；C.FAB向右，FCD向左，FCD=FAB；D.FAB向右，FCD向左，FCD>

FAB。ABCD答案：B3.一圆形开口容器，高70cm，截面积为600cm2，储满清水。如容器底部有一个1cm2的小孔，求该容器的水流完需要的时间t。12H已知：容器高H=70cm=0.70m容器横截面积S1=600cm2=6.00×10-4m2

小孔的面积S2=1cm2=1.0×