第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过_________的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们________________过该点的公共直线．两点不共线有且只有一条

1．平面的基本性质2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α2．空间点、直线、平面之间的位置关系平行相交任何相交平行在平面内平行相交空间点线面之间的位置关系锐角或直角

平行．

相等或互补．

一个理解两种方法三个作用ABCDA1B1C1D1Q平面的基本性质

ABCDA1B1C1D1GEF1．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．

2、证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上。3、证明三线共点的一般方法，即证明点是两个平面的公共点，直线是这两个平面的交线。

设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是________． ①若AC与BD共面，则AD与BC共面； ②若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线； ③若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC； ④若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC. 【思路点拨】

①可用公理进行判断；②可用反证法进行判断；③可利用几何直观进行判断；④可由线面垂直，推出线线垂直．空间两条直线的位置关系

③【解】

由公理1知，命题①正确．对于②，假设AD与BC共面，由①正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确．对于③，如图，当AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确．对于④，如图，取BC的中点E，连结AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

如图7－3－4所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱D1C1、C1C的中点，求证直线BN与MB1是异面直线。

方法一：定义法方法二：反证法如图，在三棱锥A－BCD中，E、F分别是BC、AD的中点，ABCDEF（1）若AB=CD，AB与CD成300，求EF与AB所成的角；（2）若EF＝7，AC＝10，BD＝6，求异面直线AC与BD所成的角。600150或750

求两异面直线所成的角，利用中位线平移化成两相交直线所成的角。异面直线所成的角

若三棱锥A-BCD是正四面体，则EF与AB所成角是多少？1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°C2．如图7－3－7所示是三棱锥D—ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()

AACBDO方法一ACBDOB/C/方法二ABDEFGC