中心极限定理演示文稿3

第二节中心极限定理实际背景

在现实中为什么很多数量指标都服从或近似正态分布。

研究发现这些指标通常是大量相互独立的随机因素综合而成，即中心极限定理研究的内容，当时,什么情况下

的极限分布是中心极限定理设是相互独立，均值和方差存在

则随机变量和的标准化随机变量。则定义：若

的分布函数

对任意

满足

则称服从中心极限定理。问：服从中心极限定理的条件是什么?

定理4.5（独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立,服从相同的分布,且则对于任何实数x,有

注：1）定理表明独立同分布的随机变量之和

当n充分大时，随机变量之和与其标准化随机变量分别为

2)独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为3)虽然在一般情况,我们很难求出的分布的确切形式。但当n很大时，可以求出近似分布。推论1：在独立同分布中心极限的条件下，当很大时，对任意实数a<b,有近似公式：

1）

2）

例1掷一颗骰子100次,记第次掷出的点数其算术平均为试求概率解:由题意得利利用中心极限定理可得

这表明,掷100次骰子点数的平均在3到4之间的概率近似为0.9966,很接近于1.例2计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所舍入误差相互独立，且在（-0.5，+0.5）上服从均匀分布。

1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

2）最多可由几个数相加使得总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？解：设第个加数的舍入误差为

已知在（-0.5，+0.5）上服从均匀分布。

2）设最多有n个数相加，使误差总和符合要求。即要确定n，试例3某汽车销售点每天销售的汽车服从参数为

泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天销售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率？

解:记则为一年的总销量,由利用独立同分布中心极限定理，可得这表明,该销售点一年售出700辆以上的概率近似为0.8665.二、棣美佛-拉普拉斯中心极限定理定理4.6设在独立试验序列中，事件A的概率p(A)=p(0<P<1),随机变量表示A在n次试验中发生的次数，则对任何实数x有

注记：1）该定理是概率论历史上第一个中心极限定理，由棣美佛于1730年给出时的证明，几十年后经拉普拉斯推广到

的一般情况

推论2若当n很大时，则

例4调整某种仪表200台，调整无误的概率为0，设调整过大或过小的概率都是，问调整过大的仪表在95台到105台间的概率是多少？注：若直接用二项分布来计算中心极限定理当n很大时较准确例5某电视机厂每月生产10000台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，该车间每月生产多少只显像管？解:设生产显像管正品数X,月总产量n,则为了试电视机都装上正品，则每月至少生产10000台正品，则所求为由拉普拉斯定理得：且n较大，即反查正态分布表得例6从次品率为0.05的一批产品中随机地取200件产品，分别用二项分别，泊松分布，拉普拉斯中心极限计算取出的产品中至少有3个次品的概率？解:设为表示取出的200件产品中的次品数,则1)用二项分布近似计算2）用泊松分布计算。3