正弦稳态电路

第五章正弦稳态电路本章重点：

相量表示法分析正弦稳态电路的相量法正弦稳态电路的功率第五章正弦稳态电路主要内容：

第一节正弦量的基本概念

第二节正弦量的相量表示法

第三节电阻元件伏安关系的相量形式

第四节电感元件伏安关系的相量形式

第五节电容元件伏安关系的相量形式

第六节基尔霍夫定理的相量形式

第七节R、L、C串联电路及复阻抗

第八节R、L、C并联电路及复导纳第五章正弦稳态电路

第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳

第十节正弦电流电路的分析计算

第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率

第十二节二端网络的功率

第十三节功率因数的提高及有功功率的测量

第十四节串联电路的谐振

第十五节并联电路的谐振本章小结第一节正弦量的基本概念正弦电流波形图第一节正弦量的基本概念式中ω

、Im、i称为正弦量的3个要素。

ω―角频率，

Im

―最大值，

i

―初相位。正弦量的瞬时值表达式为第一节正弦量的基本概念一、角频率、频率和周期周期：正弦量是周期量，变化一周所需的时间称为周期，用T表示，单位为秒(s)。频率：正弦量在一秒内重复的次数称为频率，用f表示，单位为赫兹(Hz)。我国工业用电频率为50Hz，称为工频。频率与周期互为倒数关系。f=第一节正弦量的基本概念角频率：即正弦量的角速度，其单位为弧度/秒(rad/s)。

第一节正弦量的基本概念二、幅值和有效值

幅值：正弦量在变化过程中所能达到的最大值，又称振幅或幅值。

峰-峰值：通常将正弦量的最大值与最小值之差，即2Im称为正弦量的峰—峰值

第一节正弦量的基本概念有效值：一个正弦电流i和一个直流电流I分别通过相同电阻R，在同一时间内产生的热量相等，即

则I称为i的有效值第一节正弦量的基本概念正弦电流、电压的有效值为其最大值的1/倍。即：第一节正弦量的基本概念三、初相、参考正弦量和相位差

1.相位、初相位、参考正弦量正弦量的表达式中，（ωt+i）称为正弦量的相位（角）。t=0时，（ωt+i）=i，称初相位，即i是t=0时的相位角。当电路中有多个相同频率正弦量同时存在时，可根据需要选择其中某一正弦量在由负向正变化通过零值的瞬间作为计时起点，则这个正弦量的初相就是零，称这个正弦量为参考正弦量。第一节正弦量的基本概念2.相位差

同频率正弦量的相位差为其初相位之差。如：

u=Umsin（ωt+u）

i=Imsin（ωt+i）

则相位差为

=（ωt+u）-（ωt+i）=

u-i第一节正弦量的基本概念

当

=0时，称u与i同相，波形如图５－２ａ所示；当>0时，称u在相位上超前于i

角，或称i滞后于u角，波形如图５－２ｂ所示；当=90º

时，称u与i正交，波形如图５－２ｃ所示；当=180º

时，称u与i反相，波形如图５－２ｄ所示；第一节正弦量的基本概念不同相位差的u和i波形第二节正弦量的相量表示法一、复数

工程中通常采用复数表示正弦量，把对正弦量的各种运算转化为对复数的代数运算，从而大大简化正弦交流电路的分析计算过程，这种方法称为相量法。复数和复数运算是相量法的数学基础，必需熟练掌握复数的相关概念。第二节正弦量的相量表示法复数的矢量表示第二节正弦量的相量表示法二、用复数表示正弦量

复平面上，旋转向量每个时刻在虚轴上的投影对应于正弦量的瞬时值，如图示:

第二节正弦量的相量表示法

旋转向量的核心部分反映了正弦量的有效值和初相位这两个重要的要素，而同频率的正弦量又不必区分频率ω，这样，一个正弦电流就可用复数来表示.第二节正弦量的相量表示法用复数表示正弦交流量的方法：复数的模对应于正弦交流量的有效值（最大值），复数的幅角对应于正弦交流量的初相位。以后把这个能表征正弦交流量的复数称为相量。当复数的模对应于正弦交流量的有效值时，称有效值相量，用、表示；当复数的模对应于正弦交流量的最大值时，称最大值相量，用、表示。第三节电阻元件伏安关系的相量形式一、电阻元件的伏安关系

电阻元件在电压与电流的关联参考方向下，它们的关系式为二、电阻元件伏安关系的相量形式

其电路模型如右图示。第三节电阻元件伏安关系的相量形式电阻元件中电压与电流的波形图和相量图第四节电感元件及其伏安关系的相量形式一、电感元件的伏安关系

电感元件在电压与电流的关联参考方向下，它们的关系式为

二、电感元件伏安关系的相量形式

第四节电感元件及其伏安关系的相量形式电感元件的电压、电流波形图及相量图第四节电感元件及其伏安关系的相量形式三、电感元件的储能

从ｔ０到ｔ时间内，外部输入电感的能量即被线圈所吸收并储存的磁场能量为：

若，即在初始时刻电感中没有电流，也就没有储能。则电感在ｔ时刻储存的磁场能量为第五节电容元件及其伏安关系的相量形式一、电容元件的伏安关系

电容元件在电压与电流的关联参考方向下，它们的关系式为

二、电容元件伏安关系的相量形式第五节电容元件及其伏安关系的相量形式电容元件的电压、电流波形图及相量图第五节电容元件伏安关系的相量形式三、电容元件的储能

从ｔ０到ｔ时间内，外部输入电容的能量即被电容所吸收并储存的电场能量为：若，即在初始时刻电容电压为零，也就没有储能。则电容在ｔ时刻储存的磁场能量为第六节基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫电流定律及其相量形式

根据KCL,电路中任一节点在任何时刻，都有各电流都是同频率的正弦量，故有上式即为基尔霍夫电流定律的相量形式。其含义是:正弦交流电路中任一节点的所有电流相量的代数和等于零。第六节基尔霍夫定律的相量形式二、基尔霍夫电压定律及其相量形式同理可得基尔霍夫电压定律的相量形式

上式含义是:正弦交流电路中的任一回路的所有电压相量的代数和等于零。第七节R、L、C串联电路及复阻抗一、R、L、C串联电路的复阻抗右图中有关系式式中

Z是一个复数，称为电路的复阻抗。第七节R、L、C串联电路及复阻抗关于复阻抗：

1.实部R为等效电阻，虚部X为等效电抗。是复阻抗的模，是复阻抗的幅角，称为阻抗角。有正、负之分:

>0为感性负载;<0为容性负载;=0为阻性负载

2.复阻抗Z的单位仍与电阻的单位相同。3.Z不是代表正弦量的复数，它不是相量。4.线性电路中，Z仅由电路的参数及电源的频率决定，与电压、电流无关。5.单一的电阻、电感、电容元件可看成复阻抗的一种特例。第七节R、L、C串联电路及复阻抗RLC串联电路的相量图第七节R、L、C串联电路及复阻抗二、阻抗三角形因为可知，构成一个直角三角形，称为阻抗三角形。第七节R、L、C串联电路及复阻抗三、电压三角形因为右图中可见、、构成一直角三角形，称为电压三角形。端电压由两个分量组成:称为有功分量；

称为无功分量。=第八节R、L、C并联电路及复导纳一、RLC并联电路的复导纳

第八节R、L、C并联电路及复导纳RLC并联电路中有

Y称为电路的等效复导纳，它是一个复数。第八节R、L、C并联电路及复导纳关于复导纳：

1.实部G为等效电导，虚部B为等效电纳。是复导纳的模，

Y是复导纳的幅角，称为导纳角。Y有正、负之分:

Y

<

0为感性负载;Y

>

0为容性负载;Y=0为阻性负载2.复导纳Y的单位仍与电导的单位相同。3.Y不是代表正弦量的复数，它不是相量。4.线性电路中，Y仅由电路的参数及电源的频率决定，与电压、电流无关。第八节R、L、C并联电路及复导纳RLC并联电路的相量图第八节R、L、C并联电路及复导纳、导纳三角形

因为

可知，G、B、构成了一个直角三角形，称为导纳三角形。第八节R、L、C并联电路及复导纳三、电流三角形

因为右图中可见、、构成一直角三角形，称为电流三角形。总电流由两个分量组成:称为有功分量；

称为无功分量。第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳一、阻抗（导纳）的串联和并联

阻抗或导纳的串联、并联和混联电路的分析计算，形式上完全与电阻电路一样，也可导出相类似的等效阻抗或导纳的计算公式。

n个阻抗相串联的电路，其等效复阻抗为

n个导纳相并联的电路，其等效复导纳为

第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳二、无源二端网络的等效电路

一个无源二端网络既可用Z等效，也可用Y等效。Z与Y互为倒数关系，即在分析计算和实际测量中，通常根据便利原则选择二端网络的等效形式。一般来讲，等效阻抗多用于串、并、混联电路中，等效导纳通常用于并联电路中。第十节正弦电流电路的分析计算一、相量法

1.利用相量法分析正弦稳态电路的基本步骤为：

（1）将电路中各正弦电压和电流用相应的相量表示。（本章第二节中已经介绍了正弦量的相量表示法）（2）将电路中R、L、C元件用相应的阻抗（或导纳）表示。（3）利用基尔霍夫定律、二端元件伏安关系和欧姆定律的相量形式，对电路进行分析和计算，得到所求响应的相量（4）根据需要将电路响应的相量形式表示为正弦量。第十节正弦电流电路的分析计算2.相量法有关说明：

利用相量法分析正弦稳态电路时，电路的相量方程与线性电阻电路的方程在形式上完全类似的。所以分析电阻电路的所有方法、公式和定理都可以适用于正弦稳态电路的分析计算（如支路分析法、回路分析法、节点分析法、叠加定理、戴维南定理与诺顿定理等）。只是注意要用电压和电流的相量来取代电阻电路中的电压和电流，用阻抗和导纳来取代电阻电路中的电阻和电导。第十节正弦电流电路的分析计算二、相量法应用举例例5-1分别用回路分析法和节点分析法求图示电路中各支路的电流。第十节正弦电流电路的分析计算解：1.用回路分析法设回路电流为、，可列出回路方程为整理得第十节正弦电流电路的分析计算解得：可得：第十节正弦电流电路的分析计算2.用节点分析法设节点②为参考节点，列出关于节点电压的方程

解得：第十节正弦电流电路的分析计算可得注：此例题也可直接按阻抗串、并联简化电路,并应用分流公式进行计算.第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率一、电阻元件的功率1.瞬时功率

正弦交流电路中，某段电路在某一瞬间所吸收的功率称为该电路的瞬时功率，用p表示。瞬时功率的表达式为：正弦交流电路中电阻元件的瞬时功率为第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率说明：电阻元件的瞬时功率以2ω的角频率变化，并且恒大于零，说明电阻元件是耗能元件。pR、uR、

iR波形第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率

2.平均功率定义瞬时功率在一个周期内的平均值为平均功率，用P表示，即电阻元件的平均功率为注意:式中UR、IR都为有效值第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率二、电感元件的功率1.瞬时功率电感元件的瞬时功率为电感元件的瞬时功率也是以2ω的频率变化，但与电阻元件不同的是，其瞬时功率有正有负，说明它与外电路进行能量交换，是一个储能元件。第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率pL、uL、

iL波形图第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率2.平均功率正弦电路中电感元件的平均功率为

说明电感元件不消耗功率，只与外界进行能量交换。第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率3.无功功率

为了反映电感元件与外电路交换能量的不同规模，定义瞬时功率的最大值为无功功率，它代表电感元件与外电路交换能量的最大速率。电感元件的无功功率用QL表示，根据定义可得：无功功率的单位规定为乏(var)。注意：“无功功率”不是“无用功率”。无功功率在工程上占有重要地位，第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率三、电容元件的功率1.瞬时功率

电容元件的瞬时功率也是以2ω的频率变化的，其瞬时功率有正有负。说明它与外电路进行能量交换，是一个储能元件。pC、uC、

iC波形图第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率2.平均功率正弦电路中电容元件的平均功率为这说明电容元件也不消耗功率，只与外界进行能量交换。第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率3.无功功率

定义电容元件瞬时功率的最大值为无功功率，用QC表示，即

在正弦电路中，电感元件“吸收”无功功率，而电容元件“发出”无功功率。当电路中既有电感元件，又有电容元件时，它们的无功功率相互补偿，即正、负号只是表示它们之间相互补偿的意义。第十二节二端网络的功率一、瞬时功率无源二端网络中，设该二端网络的瞬时功率为：

第十二节二端网络的功率二端网络的功率第十二节二端网络的功率二、有功功率和功率因数

根据有功功率（平均功率）的定义，该二端网络有功功率为上式说明：二端网络的有功功率不仅与网络端口的电压和电流的有效值有关，还与它们之间的相位差有关。式中cos称为二端网络的功率因数，用表示。阻抗角也称为功率因数角。

第十二节二端网络的功率说明：（1）无源二端网络的有功功率等于网络内部所有电阻消耗功率之和。（2）若将无源二端网络用等效复阻抗表示，即用一个电阻与电抗的串联组合来等效，则此时该等效电阻上消耗的有功功率为无源二端网络的有功功率。第十二节二端网络的功率三、无功功率

无源二端网络的无功功率定义为：

无源二端网络的无功功率等于网络内部所有电抗元件无功功率的代数和。

第十二节二端网络的功率四、视在功率

通常将电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用大写字母S表示，即视在功率的单位用伏安（V·A）或千伏安（KV·A）表示。视在功率S通常用来表示电气设备的额定容量。额定容量即电气设备可能发出的最大功率。第十二节二端网络的功率五、功率三角形

综上所述，有功功率，无功功率，视在功率之间存在如下关系：

P、Q、S三者构成一直角三角形，称为二端网络的功率三角形。第十二节二端网络的功率五、复功率二端网络的S、P、Q之间的关系可用一个复数来表示，该复数称为复功率，用表示，其表达式为注意：电路中有功功率、无功功率、复功率是守恒的，但视在功率一般是不守恒的。第十三节功率因数的提高及有功功率的测量一、功率因数的提高

1.方法：在实际工程中，大多数负载都呈感性。因此通常在负载两端并联一个合适的电容器进行功率补偿以提高功率因数，所并联的电容叫做补偿电容。2.原理：感性负载并联电容后，由于电容元件的无功功率与电感元件的无功功率相互补偿，从而减少了电源供给的无功功率，但电源提供的有功功率并没有改变，从而提高了整个电路的功率因数。第十三节功率因数的提高及有功功率的测量功率因数的提高第十三节功率因数的提高及有功功率的测量3.条件（1）要使电路的功率因数由原来的cos1提高到cos，需并联的电容器的电容量为

上式中，IL为感性负载中流过的电流，I为并联电容后线路中的总电流，ω为电源角频率，U为电源电压。第十三节功率因数的提高及有功功率的测量（2）从功率的角度分析，也可以证明，需并联的电容器的电容量为上式中，P为感性负载的有功功率，ω为电源角频率，U为电源电压的有效值二、有功功率的测量第十三节功率因数的提高及有功功率的测量第十三节功率因数的提高及有功功率的测量三、最大功率传输

对于任意给定的一个线性含源二端网络，总可以得到戴维南等效电路，可得负载获得的平均功率为

若负载的RL、XL都可变，负载ZL从给定电源中获得最大功率的条件是且负载的最大功率为

第十四节串联电路的谐振一、谐振条件及特征

1.谐振条件:第十四节串联电路的谐振2.特征

1）当