2019版浙江省学业水平考试数学仿真模拟试卷(五)含答案

仿真模拟(五)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为()A．{x|x≤1或x>2} B．{x|x<0或1<x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|1<x≤2}答案A解析B＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，而A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以∁U(A∩B)∩(A∪B)＝{x|x≤1或x>2}，故选A.2.eq\r(3,lg5－13)－eq\r(lg2－12)等于()A．lgeq\f(2,5) B．1C．－1 D．lgeq\f(5,2)答案C解析eq\r(3,lg5－13)－eq\r(lg2－12)＝lg5－1－(1－lg2)＝lg5＋lg2－2＝lg(5×2)－2＝1－2＝－1，故选C.3．若关于x的不等式(ax－1)(x＋1)＜0(a∈R)的解集为{x|－1＜x＜1}，则a的值是()A．－2 B．－1C．0 D．1答案D解析由题意得(ax－1)(x＋1)＝0的两根为－1和1，∴eq\f(1,a)＝1，得a＝1.4．已知数列{an}是公比为2的等比数列，若a4＝16，则S4等于()A．15B．30C．31D．63答案B解析由等比数列的通项公式an＝a1qn－1得a4＝a1q3，a1＝eq\f(a4,q3)＝eq\f(16,8)＝2，所以S4＝eq\f(2×1－24,1－2)＝30，故选B.5．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面区域的面积为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案D解析作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x－1，))得yD＝eq\f(1,2)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×(xC－xB)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).6．“x＝1”是“x2＝1”成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析由x＝1⇒x2＝1知，充分性成立，由x2＝1⇒x＝±1⇏x＝1知，必要性不成立．所以“x＝1”是“x2＝1”成立的充分不必要条件．7．已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足∠PF2F1＝eq\f(π,2)，连接PF1交y轴于点Q，若|QF2|＝eq\r(2)c，则双曲线的离心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．1＋eq\r(2) D．1＋eq\r(3)答案C解析∵PF2⊥x轴，∴|PF2|＝eq\f(b2,a)，∴|PF1|＝2a＋eq\f(b2,a)＝eq\f(a2＋c2,a)，∴eq\f(a2＋c2,a)＝2eq\r(2)c，即a2＋c2＝2eq\r(2)ac，∴e2－2eq\r(2)e＋1＝0，∴e＝1＋eq\r(2)或e＝eq\r(2)－1(舍)．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．1B．2C．3D．4答案B解析由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形(其上、下底分别为1和2，且高为2)，高为2的四棱锥，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2×2＝2，故选B.9．若偶函数f(x)在区间[0,4]上单调递减，则有()A．f(－1)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞f(－π)B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞f(－1)＞f(－π)C．f(－π)＞f(－1)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))D．f(－1)＞f(－π)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))答案A解析由f(x)是偶函数，则f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在区间[0,4]上单调递减，∴f(1)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞f(π)，即f(－1)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞f(－π)．10．若cos2α＝eq\f(1,3)，则sin2αtanα的值为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)答案A解析由题意得sin2αtanα＝2sinαcosα·eq\f(sinα,cosα)＝2sin2α＝1－cos2α＝eq\f(2,3)，故选A.11．在等差数列{an}中，已知a1＝1，a7＝－23，若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1an)))的前n项和为－eq\f(14,55)，则n等于()A．14 B．15C．16 D．18答案A解析a7＝a1＋6d＝－23，由a1＝1，得d＝－4，an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋5，∵eq\f(1,an＋1an)＝eq\f(1,d)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，设eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1an)))的前n项和为Sn，∴Sn＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,a2)＋\f(1,a2)－\f(1,a3)＋…＋\f(1,an)－\f(1,an＋1)))＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,an＋1)))＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,－4n＋1)))＝－eq\f(14,55)，解得n＝14.12．在△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，若三边a，b，c成等差数列，B＝30°，且△ABC的面积为eq\f(3,2)，则b的值是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．3＋eq\r(3) D.eq\f(3＋\r(3),3)答案A解析∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3,2)，且B＝30°，∴ac＝6.又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－eq\r(3)ac＝(a＋c)2－(2＋eq\r(3))ac，即b2＝(a＋c)2－(2＋eq\r(3))×6，又a＋c＝2b，∴b2＝4b2－(12＋6eq\r(3))，∴3b2＝12＋6eq\r(3)，∴b2＝4＋2eq\r(3)，b＝1＋eq\r(3).13．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4内切，则m的值为()A．－2 B．－1C．－2或－1 D．2或1答案C解析由题意得两个圆的圆心坐标分别为(m，－2)，(－1，m)，半径分别为3,2，由两圆内切的条件得eq\r(m＋12＋－2－m2)＝3－2，解得m＝－2或m＝－1，故选C.14．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有()A．l∥βB．l⊂βC．l与β相交D．以上三种情况都有可能答案D解析当α⊥β，l∥α时，如图所示，l与β可能平行、相交或在β内，故选D.15．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x－1|，x<2，,\f(1,2)fx－2，x≥2，))则方程16f(x)－lg|x|＝0的实根个数为()A．8B．9C．10D．11答案C解析方程16f(x)－lg|x|＝0的实根个数等价于函数f(x)与函数g(x)＝eq\f(lg|x|,16)的交点的个数，在平面直角坐标系内画出函数f(x)及g(x)＝eq\f(lg|x|,16)的图象，由图易得两函数图象在(－1,0)内有1个交点，在(1,10)内有9个交点，所以两函数图象共有10个交点，即方程16f(x)－lg|x|＝0的实根的个数为10，故选C.16．若关于x的不等式3－|x－a|>x2在(－∞，0)上有解，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,4)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(13,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,4))) D．(3，＋∞)答案A解析由3－|x－a|>x2，得|x－a|<3－x2，则有3－x2>0，在平面直角坐标系中画出函数y＝3－x2和y＝|x－a|的图象，如图所示．当函数y＝|x－a|的图象在x＝a左侧的部分经过点(0,3)时，可得a＝3；当函数y＝|x－a|的图象在x＝a右侧的部分和函数y＝3－x2的图象相切时，方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－a，,y＝3－x2))有唯一解，即x2＋x－a－3＝0有唯一解，即Δ＝1－4(－a－3)＝0，解得a＝－eq\f(13,4)，综上所述，原不等式若有解，则实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,4)，3))，故选A.17．设A，B是椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB＝120°，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))∪[12，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪[6，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪[12，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))∪[6，＋∞)答案A解析①当0<k<4时，易知当点P位于短轴的端点M时，∠APB取最大值，要使椭圆C上存在点P满足∠APB＝120°，则∠AMB≥120°，即∠AMO≥60°，tan∠AMO＝eq\f(2,\r(k))≥tan60°，解得0<k≤eq\f(4,3)；②当k>4，即椭圆的焦点在y轴上时，同理可得k≥12.综上，k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))∪[12，＋∞)，故选A.18．已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f(x)在[a，＋∞)上是增函数；④若a＞0，在[－a，a]上f(x)有最大值|a2－b|.其中正确的命题序号是()A．③ B．①④C．②④ D．①②③答案A解析对于①，当且仅当a＝0时，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|为偶函数，①错误；对于②，当a＝0，b＝－2时，满足f(0)＝2＝f(2)，此时函数图象不关于直线x＝1对称，②错误；对于③，当a2－b≤0时，(－2a)2－4b＝4(a2－b)≤0，所以f(x)＝x2－2ax＋b，则f(x)在[a，＋∞)上是增函数，③正确；对于④，当a＝1，b＝4时，满足a＞0，此时f(x)＝|x2－2x＋4|在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝|(－1)2－2×(－1)＋4|＝7≠|12－4|，④错误．综上所述，正确结论的序号为③，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．已知向量a＝(－2，x)，b＝(y,3)，若a∥b且a·b＝12，则x＝________，y＝________.答案2－3解析∵a∥b，∴xy＝－6，又a·b＝12，∴－2y＋3x＝12，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3.))20．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3ex－1，x<2，,log3x2－1，x≥2，))则f(f(2))的值为________．答案3解析∵f(2)＝log3(22－1)＝1，∴f(f(2))＝f(1)＝3e1－1＝3.21．若椭圆的方程为eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，则实数a＝________.答案eq\f(14,3)或eq\f(22,3)解析由题意得当10－a＞a－2＞0，即2＜a＜6时，eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则其离心率e＝eq\r(1－\f(a－2,10－a))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝eq\f(14,3)；当a－2＞10－a＞0，即6＜a＜10时，曲线eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则其离心率e＝eq\r(1－\f(10－a,a－2))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝eq\f(22,3).综上所述，实数a＝eq\f(14,3)或eq\f(22,3).22．在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高等于eq\f(1,3)BC，则cosA＝________.答案－eq\f(\r(10),10)解析如图，设AD＝h，则BD＝h，∴CD＝2h，∴AC＝eq\r(5)h，∴sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5)，∴cosA＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(10),10).三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)如图，在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．(1)若△BCD的面积为eq\f(\r(3),3)，求CD的长；(2)若DE＝eq\f(\r(6),2)，求角A的大小．解(1)∵△BCD的面积为eq\f(\r(3),3)，B＝eq\f(π,3)，BC＝2，∴eq\f(1,2)×2×BD×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),3)，∴BD＝eq\f(2,3).在△BCD中，由余弦定理，可得CD＝eq\r(BC2＋BD2－2BC·BDcosB)＝eq\r(4＋\f(4,9)－2×2×\f(2,3)×\f(1,2))＝eq\f(2\r(7),3).(2)∵DE＝eq\f(\r(6),2)，∴CD＝AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(\r(6),2sinA)，在△BCD中，由正弦定理，可得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sinB).∵∠BDC＝2A，∴eq\f(2,sin2A)＝eq\f(\r(6),2sinAsin\f(π,3))，∴cosA＝eq\f(\r(2),2)，又∵A为三角形的内角，∴A＝eq\f(π,4).24．(10分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于eq\r(10)时，求k的值．(1)证明如图所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－x，,y＝kx＋1，))消去x得，ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－eq\f(1,k).∵A，B在抛物线y2＝－x上，∴yeq\o\al(2,1)＝－x1，yeq\o\al(2,2)＝－x2，∴yeq\o\al(2,1)·yeq\o\al(2,2)＝x1x2.∵kOA·kOB＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(1,y1y2)＝－1，∴OA⊥OB.(2)解设直线与x轴交于点N，显然k≠0.令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq\f(1,2)|ON||y1|＋eq\f(1,2)|ON||y2|＝eq\f(1,2)|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·1·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4).∵S△OAB＝eq\r(10)，∴eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)＝eq\r(10)，∴k＝±eq\f(1,6).25．(11分)设函数f(x)＝x|x－a|＋b.(1)当a>0时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)若不存在正数a，使得不等式f(x)<0对任意x∈(0,1]恒成立，求实数b的取值范围．解(1