第四章概率论

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

考察一台测量仪器的好坏,既看所测结果的平均值又要看每次测量的结果是否集中，即每次测量值与平均值的偏离程度是否小。例如：考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述其某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量的平均取值——数学期望

随机变量取值平均偏离均值的情况

——方差描述两随机变量间的某种关系的数

——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写第四章随机变量的数字特征一、数学期望二、方差三、协方差及相关系数四、矩、协方差矩阵数学期望第四章第一节二、随机变量函数的数学期望一、数学期望的概念三、数学期望的性质四、几种重要分布的数学期望我们来看一个引例.

引例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况（假定小张每天至多出现三件废品）1、离散型随机变量的数学期望一、数学期望的概念对于随机变量来说，有时不仅要知道它的概率分布，还希望知道随机变量取值的“平均”大小。可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,以频率为权的加权平均

当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的若级数绝对收敛。设离散型随机变量X的分布律为简称期望或均值，记为E(X).则称此级数的和为X

的数学期望。即级数的和.数学期望是随机变量的平均值，其与X取值x

k的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。定义1定理：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.设离散型随机变量X的分布为XPXP例1甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？解

甲乙的平均环数可求得：因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。X：甲击中的环数Y：乙击中的环数解

设试开次数为X,于是某人的一串钥匙上有n

把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.例2期望值在决策中有着广泛的应用假如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)；如经营工艺品，风险小但获利少(95％会赚，但利润为1000元)．究竟该如何决策？所以权衡下来，情愿去经营西瓜，因它的期望值高．计算期望值：若经营西瓜，期望值E1=0.7×2000=1400元．而经营工艺品期望值E2＝0.95×1000＝950元．再如:考试中经常碰到选择题，选对3分，错了扣一分没有任何线索的情况下，能不能碰碰运气计算得分的期望值

蒙对答案的概率0.25此种情况下，蒙不蒙效果都一样2、连续型随机变量的数学期望

设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0<x1<x2<…,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为

由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.这正是的渐近和式.近似,因此X与以概率取值xi的离散型r.v

该离散型r.v的数学期望是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果积分绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.例3已知某电子元件的寿命X服从参数为的指数分布(单位：小时）。求这类电子元件的平均寿命E(X)。解小时。由定义可得例4（柯西分布）假设随机变量X的密度函数为求X的数学期望.由于不是所有的随机变量都有数学期望二、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？答案是肯定的

使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.解已知X

的分布律为求及的数学期望。1/41/81/43/8-1012例41/41/81/43/81014同理定理1

设(g为连续函数)⑴设X为离散型随机变量，其分布律为若级数绝对收敛,则g(X)的数学期望为⑵设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),若绝对收敛,则g(X)的数学期望为该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)例5解设随机变量X的概率密度为例6求E(1/X)。解例7.设某公共汽车站于每小时的10分,50分发车,乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。设T为乘客到达车站的时刻(分)，设Y为乘客等车时间，则解:则其概率密度为已知上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。例8

已知(X,Y)的分布律为

求解定理2

设(X,Y)是二维随机变量,g(X,Y)是二元连续函数⑴设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为则Z的数学期望为⑵设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则Z的数学期望为绝对收敛例9设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max(X,Y)).解D1D2其中D1D2一般地，若X,Y相互独立，则已知的概率密度例10求解同理一般来说，,那么何时相等？看下面数学期望性质1.设C是常数，则E(C)=C

;2.若C

是常数，则E(CX)=CE(X);3.三、数学期望的性质证明:设4.设X、Y

独立，则E(XY)=E(X)E(Y);证明:设由独立性（当Xi

独立时）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立例1设随机变量的概率密度为问X和Y是否相互独立？解则：X

和

Y

是相互独立？E(XY)=E(X)E(Y)因为所以X和Y不相互独立。求关于X和Y的边缘概率密度

性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立反例1XYpij-101-1010p•jpi•[附录1]XYP-101但证明：5.（柯西-施瓦尔兹不等式）6.四、几种重要分布的数学期望Ⅰ.X为离散型随机变量⑴（0—1）分布⑵泊松分布⑶二项分布则X

表示n

重伯努利试验中A发生的次数.现在我们来求X

的数学期望。若设则其中即，则所以结论：任何一个服从二项分布的随机变量X都可表示n个服从（0—1）分布的独立的随机变量相加的Ⅱ.X为连续型随机变量⑴均匀分布形式：则⑵指数分布则分部积分法⑶正态分布已知例1求服从参数为3的指数分布，X,Y相互独立，解

由随机变量的性质可知例2将4个不同色的球随机放入4个盒子中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.解一设X为空盒子数,则X的概率分布为XP0123解二再引入Xi,i=1,2,3,4Xi

P10例3、将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，用X表示装对信件的个数，求EX。解：则01例4一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，就不停车。以X表示停车的次数。求E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。如到达一个车站没有旅客下车第i站无人下车,第i站有人下车.解设则注:不是相互独立的。

本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.数学期望的应用据统计65岁的人在10年内正常死亡解应用1的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿

a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi

表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0.980.02100100由题设公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.

为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验n

次；分组化验,k

个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k

个人的血逐个化验,找出有病者,此时

k

个人的血需化验k+1次.

设每人血液化验呈阳性的概率为

p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择应用2解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成n/k组.设第i组需化验的次数为Xi,则Xi

P1k+1

若则E(X)<n例如,当

时,选择方案(2)较经济.市场上对某种产品每年需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？解设每年生产y吨的利润为Y显然，2000<y<4000应用3显然，故y=3500时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径

为何值时,销售一个零件的平均利润最大？应用4解即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个小结这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：方差方差第三章第二节二、方差的性质一、方差的定义三、几种重要分布的方差

上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果

甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.

中心中心由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差通常用来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.合理,但是存在正负相消，不可行.带绝对值的运算，不利于分析.若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机变量称为X的均方差或标准差.一、方差概念定义

即D(X)=E[X-E(X)]2

X的方差,记为D(X)或Var(X)两者量纲相同D(X)——描述r.v.X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数基本物理单位是基本物理量的度量单位，例如长短、体积、质量、时间等等之单位。这些单位反映物理现象或物理量的度量，叫做“量纲”。时间的长短（秒、分、时）、质量的大小（g、kg）、速度的快慢（km/h、m/s）等等，都是量纲，它们反映特定物理量或物理现象的度量，在物理学或者计算上常常以物理量的单位来表示。离散型已知X分布律连续型已知X的概率密度注意：⒈是关于随机变量X的函数的数学期望。计算方差的简便公式：⒉方差描述了随机变量X的取值与其均值的偏离程度。证明

解比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为

例1X

8

9

10

P

0.3

0.2

0.5

甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数Y：乙击中的环数Y

8

9

10

P

0.2

0.4

0.4

＝9.2(环)乙的平均环数为＝9.2(环)从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的。但两人射击环数的方差分别为：这表明乙的射击水平比甲稳定。设随机变量X的概率密度为求D（X）。

例2解1.设C是常数,则D(C)

=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X)

;3.若X与Y独立，则二、方差的性质证证⒋若X与Y独立，且a,b是常数，则推广若X1,X2,…,Xn

相互独立,则⒌⒍其中1．（0-1）分布参数为p

01三．常见分布的方差2．二项分布其中，且相互独立。则由方差的性质可得3．泊松分布分布律为参数为密度函数4．均匀分布参数为密度函数⒌指数分布参数为⒍正态分布参数为密度函数特别，当时标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为X的标准化随机变量.显然，仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025与有相同的期望方差但是分布却不相同例如例3设X,Y是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量,且，则求随机变量服从什么分布？解

Z为相互独立的正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为故在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.例4设X,Y是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量,则求随机变量的数学期望解

记则故例5设X的可能取值为且，求X的分布律。解设

X的分布律为所以已知例6求的次数，对X独立观察4次，Y表示X的观察值大于解

由题意可知例7设，且⑴求X和Y的联合分布律;⑵求X+Y的方差。解

⑴

X,Y的取值都为-1和1，则⑵X+Y的分布律为五、课堂练习1、设随机变量X服从几何分布，概率分布为P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0<p<1,求E(X),D(X)2、1、解：记

q=1-p求和与求导交换次序无穷递缩等比级数求和公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)2、解附例在[0,1]中随机地取两个数X,Y,求D(min{X,Y})解110小结这一讲，我们介绍了随机变量的方差.它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：协方差、相关系数问题

对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.若X,Y相互独立，这项为零若这项不为零，则不相互独立，那么X与Y之间存在什么关系？协方差和相关系数第四章第三节一、协方差和相关系数的定义二、协方差的性质三、相关系数的性质定义设二维随机变量则称它为与的协方差，记为即若存在，一、协方差和相关系数的定义二、协方差的性质⒈Pf:⒉（协方差的计算公式）Pf:⒊Pf:若X,Y相互独立，则⒋⒌为常数⒍Pf:协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数

.三、相关系数为随机变量X和Y的相关系数.定义:设D(X)>0,D(Y)>0,称在不致引起混淆时，记

为.无量纲的量四、相关系数的性质1)2)的充要条件是与以概率1呈线性关系。其中为常数。定理1设随机变量和的相关系数存在，则即证明：证明：说明：，X与Y的线性关系越显著；，X与Y的线性关系越不显著；2）3）4）定义、相关系数则称与不相关;相关系数之间线性关系的一种度量.是X与Y下列命题等价：1）独立不相关注：则Cauchy-Schwarz不等式所以证⑴考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差e=E{[Y-(a+bX)]2}来衡量以a+bX近似表示Y

的好坏程度:e值越小表示a+bX

与Y的近似程度越好.

用微积分中求极值的方法，求出使e达到最小时的a,b相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.证明2）=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X

这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是Y与X有严格线性关系;若可见,E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)说明相关系数之间线性关系的一种度量.，X与Y的线性关系越显著；，X与Y的线性关系越不显著；四个等价命题：2）3）4）1相关系数则称与不相关;不相