2.平面和平面的垂直

2.平面和平面的垂直9.7直线和平面所成的角与二面角问：教室的墙面和地面相交，他们所成的二面角是什么图形？一.两个平面垂直的定义平面角是直角的二面角叫做直二面角相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面αβa二、两个互相垂直平面的画法：αβαβ平面α与平面β垂直，记作α⊥β练习：画互相垂直的两个平面，两两垂直的三个平面βαaAB如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。三.两个平面垂直的判定定理：EABCDSO已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？思考题？1.平面SAD⊥平面ABCD2.平面SBD⊥平面ABCD3.平面SCD⊥平面ABCD4.平面SAD⊥平面SCD5.平面SBC⊥平面SCD6.平面SAB⊥平面SAD7.平面SAC⊥平面SBD例1、在四面体ABCD中，BD=，AB=AD=CB=CD=AC=a，求证：平面ABD⊥平面BCDBACDE如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

两个平面垂直的性质定理：E《数学之友》P174B

2小结：1.两个平面垂直的定义：

2.两个平面垂直的判定定理相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

3.两个平面垂直的性质定理作业：课本p47

习题9.76，7例1已知：

α⊥β，P∈α，P∈a,a⊥β.

求证：aα.

∩βαaPbc证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β.因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与b直线重合.所以aα.

∩

如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。例1已知：

α⊥β，P∈α，P∈a,a⊥β.

求证：aα.

∩βαaP例2求证：垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。证法一证法二证法三γαβa已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求证：a⊥γ.例垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求证：a⊥γ.证法一：γαβabcPMN设α∩γ=b,β∩γ=c,在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N.因为α⊥γ，β⊥γ，

所以PM⊥α，PN⊥β.

因为α∩β=a，

所以PM⊥a，PN⊥a，

所以a⊥γ.线线垂直线面垂直γαβa已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求证：a⊥γ.证法二：Pb任取P∈a，过点P作b⊥γ.∩∩因为α⊥γ，

所以bα，

因为β⊥γ，

因此bβ，

故α∩

β=b.

由已知α∩

β=a，

所以a与

b重合，所以a⊥γ.同一法γαβa已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求证：a⊥γ.证法三：bcb′c′设α⊥γ于b，β⊥γ于c.在α内作b′⊥b,所以b′⊥γ.同理在β内作c′

⊥c,有c′

⊥

γ,所以b′‖c′,∩∩∩又b′β,c′β,

所以b′‖β.又b′

α,α∩β=a,所以b′‖a,故a⊥γ.线线平行线面垂直小结线线垂直线面垂直面面垂直αβaAB线线平行面面平行AA1

B1

C1BCE思考题