线性代数6初等变换_第1页
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第六节初等变换和初等矩阵第一章矩阵系数矩阵AX=Y回忆：（行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于n

阶行列式：（1）

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.（2）

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．例如从等号右端看，利用性质3、性质4的（1）及性质2即得等号左端。（3）

互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式写成分块形式，则定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换定义2

矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.

矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念第i列

定理1

设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.

例题：P54例1等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价关系．四、初等矩阵的应用特点：例如，考虑m=n时的情况（即A为方阵），A在什么情况下可逆？推论3（P56）：r=n时（A与In等价时）A可逆P56定理3A为可逆方阵的充分必要条件是A可以表示为有限个初等方阵的乘积。（应用一）利用初等变换求逆阵的方法：

解例2求矩阵的逆初等行变换例3解初等列变换求逆

解举例：利用列变换求解逆矩阵

1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换五、小结4.单位矩阵初等矩

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