结构力学第四章(2)-弯曲应力

§1引言§2平面弯曲时梁横截面上的正应力§3梁横截面上的剪应力§4梁的正应力和剪应力强度条件梁的合理截面5、梁的弯曲应力§１引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力F剪应力t弯矩M正应力s平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无F的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有F又有M的情况)2、研究方法纵向对称面P1P2例如：

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):§2平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、纯弯曲时梁横截面上的正应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。4.几何方程：OO1abOO1A1B1dqrxyabAB

（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。sxsx（三）静力学关系：（对称面永远满足）……(3)EIz杆的抗弯刚度（弯曲刚度）（四）最大正应力：……(5)DdDd=abBhH(弯曲截面系数)例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力18030(压应力)求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图例2T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度T字头在上面合理，反之失效。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4§3梁横截面上的剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力1、两点假设：

剪应力与剪力平行；

距中性轴等距离处，剪应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段；

dxxFt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中F为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b

为y点处截面宽度。2、几种常见截面的最大弯曲剪应力

①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。;»maxAFtf

②圆截面：③薄壁圆环：zDzDd§4梁的正应力和剪应力强度条件•梁的合理截面1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴。QtsssMt一、梁的正应力和剪应力强度条件2、正应力和剪应力强度条件：3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M较小，而F较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x求最大应力并校核强度q=3.6kN/mxM+Q–+x二、梁的合理设计（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为bh强度：正应力：剪应力：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaazD0.8Da12a1z工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z对