社会统计学12相关与回归分析

第十二章相关与回归第一节相关关系及种类第二节定类变量的相关分析第三节定序变量的相关分析第四节定距变量的相关分析第五节回归分析2/3/20231第十二章相关与回归社会上，许多现象之间也都有相互联系，例如：身高与体重、教育程度和收入、学业成就和家庭环境、智商与父母智力等。在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也各不相同。有的现象之间有因果关系，有的现象之间因果不清，只是伴随关系，例如丈夫的身高和妻子的身高之间，就不能说有因果关系。相关就是用于研究和解释两个变量之间相互关系的。2/3/20232第十二章相关与回归第一节相关关系（Correlation）及种类一、相关关系的种类：1、因果关系和共变关系因果关系中两个变量有自变量（independentVariable)和依变量(dependentVariable)之分；（1）两个变量有共变关系，（2）因变量的变化是由自变量的变化引起的。（3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，前者称为自变量，后者称为因变量。表现为共变关系的相关关系，不能区分自变量和依变量，互为根据。可以根据研究目的自由选择。相关关系不等于因果关系。下雪与结冰2/3/20233第十二章相关与回归有两个钟都很准时，当a到了整点时，b就会敲响，是a引起了b的敲响吗？有些相关是由于机缘巧合而产生的。由于机会的存在，你或许可以通过一组数据来证明一些根本不存在的结论。2/3/20234第十二章相关与回归一篇医学文章曾严厉警告：喝牛奶的人中癌症的发病率在上升。文章还指出，牛奶消费量极大的英国妇女患癌症的概率是很少喝牛奶的日本妇女的18倍。（而同期英国妇女的平均寿命比日本妇女长12岁）英国新赫布里底群岛上土著居民的信条：身上的跳蚤会带来健康的身体。因为土著居民发现，身体健康的人身上总有一些跳蚤，而身体羸弱的人身上通常没有跳蚤。2/3/20235第十二章相关与回归2、单相关和复相关从变量的多少上看：单相关只涉及两个变量，二元相关；三个或三个以上变量之间的关系称为复相关，多元相关。3、直线相关（LinearCorrelation）和曲线相关从变量变化的形式上看：如果关系近似地表现为一条直线，就称直线相关或线性相关。曲线——曲线相关由于数学手段的局限性，统计学以阐述线性相关为主，然后通过分段处理，也可以用于处理曲线相关。2/3/20236第十二章相关与回归4、相关方向：正相关和负相关自变量的增长引起依变量的相应增长，就形成正相关；5、相关程度完全相关、不完全相关和完全不相关完全相关，指变量之间为函数关系；完全不相关指变量之间不存在任何依存关系，彼此独立。不完全相关介于两者之间。2/3/20237第十二章相关与回归样本的相关系数用r(correlationcoefficient)相关系数r的值在-1和1之间，可以是此范围内的任何值。r的绝对值越接近1，两变量的关联程度越强，r的绝对值越接近0，两变量的关联程度越弱.0.80以上非常高(强)相关0.60~0.80高度(强)相关0.40~0.60中等相关0.20~0.40低(弱)相关0.20以下非常低(弱)相关r=1r=-1r=0.8r=0.2r=-0.22/3/20238第十二章相关与回归6、相关表和散点图相关表：经整理后反映两变量之间对应关系的数据表。散点图：将相关表中各个有对应关系的数据在直角坐标系上标出来，就得到散点图：直观地观察变量之间的关系2/3/20239第十二章相关与回归散点图表示的相关的类型★正相关★负相关★完全正相关★完全负相关★称零相关

2/3/202310第十二章相关与回归53项研究归结出的三种血缘关系水平者

智力测验分数的相关被研究者血缘关系水平生活在同一家庭生活在不同家庭无血缘关系者00.23-0.01成人和收养子女00.20父母和亲生子女0.50.50兄弟姐妹0.50.490.40同性别异卵双生子0.50.53异性别异卵双生子0.50.53同卵双生子1.00.870.752/3/202311第十二章相关与回归三种血缘关系的家庭成员的人格相关被研究者血缘关系水平人格的相关同卵双生子1.000.52异卵双生子0.500.25非孪生兄弟姐妹0.500.20无血缘关系的兄弟姐妹0.000.072/3/202312第十二章相关与回归第二节定类变量的相关分析本节内容：1、列联表2、削减误差比例3、λ系数4、τ系数2/3/202313第十二章相关与回归1、列联表：在分组的基础上把两个变量的频数分布交互分配在一个统计表中。又称交互分类表（Crossclassification)。性别与对吸烟的态度态度Y性别X合计男女容忍48856反对204464合计68521202/3/202314第十二章相关与回归习惯上把要考察或预测的变量称为依变量，Y，放在表侧；另一变量为自变量，X，放在表头。2×2列联表，最简单的交互分类表。r×c列联表r(row)、c(column)2/3/202315第十二章相关与回归自己志愿知心朋友志愿总数快乐家庭理想工作增广见闻快乐家庭289340理想工作241750增广见闻24410总数3254141002/3/202316第十二章相关与回归用频数表示，由于基数不同不便于比较，转化成频率分布列联表。联合分布:如果边际分布：条件分布：2/3/202317第十二章相关与回归例：试把下表所示的频数分布列联表，转化为自变量受到控制的相对频数条件分布列联表，并加以相关分析。

投票行为Y受教育程度XFy大学以上大学以下投票弃权16071296128968合计：Fx1671903572/3/202318第十二章相关与回归从上表可知，受过大学以上教育的被调查者绝大多数（占95.8%）是投票的，受教育程度在大学以下的被调查者虽多数也参与投票（占67.9%）,但后者参与投票的百分比远小于前者；前者只有4.2%弃权，而后者则有32.1%弃权。两相比较可知，受教育程度不同，参与投票的行为不同，因此两个变量是相关的。投票行为Y受教育程度X大学以上大学以下投票弃权95.8%(160/167)4.2%(7/167)67.9%(129/190)32.1%(61/190)81.0%(289/357)19.0%(68/357)100.0%(167))100.0%(190)100.0%(357)2/3/202319第十二章相关与回归

性别与对吸烟的态度态度Y性别Xn男%女%容忍70.615.4(56)反对29.484.6(64)N(120)(68)(52)(120)2/3/202320第十二章相关与回归2675名双亲和他们10071个子女

的智力的关系(%)

父母智力组合

子女智力优秀

子女智力一般

子女智力低下优＋优71.525.43.0优＋劣33.442.823.7一般＋一般18.666.914.5劣＋劣5.434.460.12/3/202321第十二章相关与回归2.削减误差比例PRE（ProportionateReductioninError)通过相对频数条件分布列联表的讨论，可以就自变量X和因变量Y的关联性给出一个初步的判断。但是对关联性给出判断，能否使相关关系的强弱可以通过某些简单的系数明确地表达出来在社会统计中，表达相关关系的强弱，削减误差比例的概念是非常有价值的。削减误差比例的原理是，如果两变量间存在着一定的关联性，那么知道这种关联性，必然有助于我们通过一个变量去预测另一变量。其中关系密切者，在由一变量预测另一变量时，盲目性必然较关系不密切者为小。2/3/202322第十二章相关与回归

PRE：用不知道Y与X有关系时预测Y的全部误差E0，减去知道Y与X有关系时预测Y的联系误差E1，再将其化为比例来度量PRE的取值范围是0≤PRE≤l削减误差比例PRE适用于各测量层次的变量，λ系数和τ系数便是在定类测量的层次上以削减误差比例PRE为基础所设计的两种相关系数。

2/3/202323第十二章相关与回归PRE=（56-28）/56=0.5态度Y性别X合计男女容忍48856反对204464合计68521202/3/202324第十二章相关与回归3.λ系数

在定类尺度上测量集中趋势只能用众数。λ系数就是利用此性质来构造相关系数的。（1）不对称的λ系数2/3/202325第十二章相关与回归[例]对下表所示资料，用λ系数反映性别与收入高低的相关关系。收入Y性别X合计男女低60150210高12070190合计1802204002/3/202326第十二章相关与回归2/3/202327第十二章相关与回归（2）对称的λ系数2/3/202328第十二章相关与回归[例]研究工作类别与工作价值的关系，工作类别可分为三类：工人、技术人员、管理/行政人员；工作价值也可分为三类：以收入/福利为最重要的职业选择标准的称为经济取向型，以工作的创造性、挑战性为最重要的职业选择标准的称为成就取向型，以工作中的人际关系为最重要的职业选择标准的称为人际关系取向型。对下表所示资料，用λ系数反映工作类别与工作价值的相关关系。2/3/202329第十二章相关与回归

职工的工作种类与工作价值

工作价值Y工作种类X合计工人技术人员管理/行政人员经济取向型成就取向型人际关系取向型100302070601050204022011070合计：FX1501401104002/3/202330第十二章相关与回归性质：（1）0≤λ≤1（2）都具有PRE意义。（3）对称与不对称情况下，有不同的公式。（4）具有以众数为预测的特点，不理会众数以外的分布。（5）当众数集中在一行或一列时，λ=0，这时测量的灵敏度有问题。2/3/202331第十二章相关与回归4、τ系数τ系数用边际分布的比例来进行估测。2/3/202332第十二章相关与回归

[例]对下表所示资料，用τ系数反映性别与收入高低的相关关系，并对系数的PRE意义加以解释。收入Y性别X合计男女低60150210高12070190合计1802204002/3/202333第十二章相关与回归λ系数和τ系数都具有非对称性，以上都是以X为自变量来估测的。取值范围都是[0，1]，都具有削减误差意义。注意：当众数很突出且众数分布不在同一行，同一列时，用λ系数较好；但当众数不突出时，用τ系数更好，若众数集中在某一行或某一列，一定用τ系数2/3/202334第十二章相关与回归练习：1、调查100名青年人与其知心朋友的志愿，条件次数分布如下：计算知心朋友的志愿与自己志愿之间的相关关系，并提出研究结论。自己志愿知心朋友志愿总数快乐家庭理想工作增广见闻快乐家庭289340理想工作241750增广见闻24410总数3254141002/3/202335第十二章相关与回归第三节定序变量的相关分析定序变量只能排列高低次序，因而在分析时只能考虑两变量变化的顺序是否一致及其等级之间的差距。以此来计算两变量的相关系数。1、Spearman等级相关系数2、Gamma等级相关系数3、d系数４、肯德尔等级相关系数2/3/202336第十二章相关与回归1、Spearman等级相关系数先将定序变量的X、Y的数值排列成相对应的两个序数数列：将X由小到大排；有相等数值时，等级平均例1：为了解活动能力与智商是否有关，作了10名同学的抽样调查，资料如表，问这10名同学的智商与活动能力是否有关。2/3/202337第十二章相关与回归学生活动能力名次智商智商名次A11103B21103C31056D4959E51201F69410G71008H81056I91056J1011032/3/202338第十二章相关与回归学生活动能力名次智商名次d2A134B231C369D4925E5116F61016G781H864I969J103491342/3/202339第十二章相关与回归例2：通过对1500多名青年作社会调查，探讨当代青年择业倾向与对社会经济生活的基本态度，得资料如表，求等级相关系数（当代青年择业倾向与他们对职业社会地位的等级认定的关系；择业倾向与他们对职业的富裕程度认定的关系）。2/3/202340第十二章相关与回归职业等级认为社会地位富裕程度择业理想行政事业152各类专业241企业333教师464商业525工人687个体户716农民8782/3/202341第十二章相关与回归何时使用斯皮尔曼系数rsTotestahypothesisofarelationshipbetweentwoordinalvariableswithmanyranksandfewties.2/3/202342第十二章相关与回归但是当需要testrelationshipsbetweenordinalvariableswithfewranksandmanyties,就需要用到其他系数。2/3/202343第十二章相关与回归2、Gamma等级相关系数几个名词解释（1）同序对：设单元A变量X、Y具有等级(Xi,Yi),单元B变量具有等级（Xj,Yj,）如果Xi>xj,则yi>yj，称A与B为同序对。Ns(2)异序对：设单元A变量X、Y具有等级(Xi,Yi),单元B变量具有等级（Xj,Yj）,如果Xi>xj,则yi<yj,称A与B为异序对。Nd（3）同分对：x同分对：Tx=

nx+nxyy同分对Ty=

ny+nxyx、y同分对nxy2/3/202344第十二章相关与回归高中低高10125中203010低51052/3/202345第十二章相关与回归试就以下单元数据，列举其中的同序对、异序对、同分对。单元XYA32B31C31D11E232/3/202346第十二章相关与回归根据交互分类表计算：Ns、Nd、Tx、Ty、Txy、nx、ny高中低高f11f12f13中f21f22f23低f31f32f33高中低高10125中203010低51052/3/202347第十二章相关与回归性质：（1）取值范围[-1，1]（2）具有PRE意义（3）属对称相关测量。（4）不考虑同分对。2/3/202348第十二章相关与回归例：在某市200户中调查，看住户人口密度与婆媳冲突是否有关，交互分类后分布如下：计算G相关系数并提出研究结论。婆媳冲突住户密度总数高中低高2320449中11552894低8272459总数42102562002/3/202349第十二章相关与回归3、d系数萨默尔斯提出的，对G系数的修正，X自变量性质：不对称测量取值[-1，1]具有PRE意义2/3/202350第十二章相关与回归3、肯德尔等级相关系数(1)Tau-a系数=适用于不存在任何同分对的情况。2/3/202351第十二章相关与回归某市有12所大专院校，现组织一个评审委员会对各院校校园环境及学生体质进行评价，评价结果如表（表中已先将学校按X作了次序排列）所示，试计算校园环境和学生体质关系的肯德尔相关系数。学校名ABCDEFGHIJ环境名次（X）体质名次（Y）12345678910215374681092/3/202352第十二章相关与回归（2）Tau-b系数当出现同分对时，对分母进行修正。2/3/202353第十二章相关与回归（3）Tau-c系数当同分对很多时，m取r×c列联表中r和c值较小者。2/3/202354第十二章相关与回归Tau系数特点：（1）适用对称分析，取值[-1，1]（3）均不具有PRE意义2/3/202355第十二章相关与回归4.肯德尔和谐系数：用于对多变量求等级相关系数，如多个专家对同一事物评价的一致性或相关程度的衡量。2/3/202356第十二章相关与回归假设四位专家对10所大专院校环境质量进行排序，有关评价结果列于下表中，试通过计算肯德尔和谐系数，检验专家意见的一致性和相关程度专家名大专院校名合计ABCDEFGHIJABCD12345678910321458671091324576891042153786109————————等级和R

R29971718282729383881814928932478472984114441444——60662/3/202357第十二章相关与回归练习：1.在某地抽选469名已婚男人，研究他们对父亲的感情是否会影响他们对婚姻的适应。试计算G系数并提出研究结论。

丈夫与父亲的感情对其婚姻适度之影响婚姻适应与父亲感情总数平淡不错良好很好恶劣32412628127一般28474122138数751571281094692/3/202358第十二章相关与回归2.以下是两位评判员对10名参赛人员的打分排序：试用一系数描述两评判员打分相近程度。参赛人ABCDEFGHIJ评判112435876910评判2123456879102/3/202359第十二章相关与回归第四节定距变量的相关分析根据定距变量数值特征，可以引进更为精确的相关测量法来反映他们的相关程度。Pearson积矩相关系数2/3/202360第十二章相关与回归相关表和散点图相关表：经整理后反映两变量之间对应关系的数据表。散点图：将相关表中各个有对应关系的数据在直角坐标系上标出来，就得到散点图：直观地观察变量之间的关系工龄(年)X111333555777技术考核分Y1232343.54.55.57892/3/202361第十二章相关与回归2/3/202362第十二章相关与回归积差相关系数的公式：导出2/3/202363第十二章相关与回归r是协方差与X和Y的标准差的乘积之比。2/3/202364第十二章相关与回归试就下表所示资料，计算关于员工的工龄和技术考核分的皮尔逊相关系数。

工龄(年)X111333555777技术考核分Y1232343.54.55.57892/3/202365第十二章相关与回归

N0工龄X技术考核分YX2Y2XY1234567891011121113335557771232343.54.55.5789111999252525494949149491612.2520.2530.25496481123691217.522.527.5495663合计4852.5252299.75268.52/3/202366第十二章相关与回归解：计算过程见上表r=2/3/202367第十二章相关与回归性质：（1）是线性相关系数（2）适用于定距/定比变量（3）取值[-1，1]，绝对值越大，相关程度越高。R绝对值在0.3以下表示不相关，0.3~0.5，低度相关；0.5~0.8，中等相关；0.8以上高度相关。（4）x与y是对称关系（5）相关系数的数值不受坐标点的变化影响。（6）r2具有PRE意义。2/3/202368第十二章相关与回归总结：定类变量定序变量定距变量定类变量交互分析λ系数τ系数定序变量Spearman等级相关Kendall和谐系数KendallT系数G系数定距变量Spearman等级相关Kendall和谐系数KendallT系数Pearson积差系数(r)2/3/202369第十二章相关与回归应用相关注意事项：1.实际意义

进行相关回归分析要有实际意义，不可把毫无关系的两个事物或现象用来作相关回归分析。例如，有人说，孩子长，公园里的小树也在长。求孩子和小树之间的相关关系就毫无意义，用孩子的身高推测小树的高度则更加荒谬。2.相关关系

相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，并不能证明事物间有内在联系，例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读技能有很强的相关关系。然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素‑‑年龄。当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大也穿不下原来的鞋。

2/3/202370第十二章相关与回归3.利用散点图对于性质不明确的两组数据，可先做散点图，在图上看它们有无关系、关系的密切程度、是正相关还是负相关，然后再进行相关分析。4.变量范围相关分析和回归方程仅适用于样本的原始数据范围之内，出了这个范围，我们不能得出两变量的相关关系和原来的回归关系。2/3/202371第十二章相关与回归第五节回归分析一、回归方程和回归分析:

设法找出变量间的依存(数量)关系,用函数关系式表达出来一般先做相关分析，只有相关较高的变量进行回归分析才有意义。把代表现象之间数量关系的直线或曲线叫做回归方程；而研究回归关系的理论或方法则称为回归分析。2/3/202372第十二章相关与回归二、基本概念1、依变量（dependentvariable)2、自变量（independentvariable）3、一元线性回归直线回归方程的模型是：yi=a+bxi+ei其中（１）a是截距（２）b是回归系数（回归直线的斜率）(regressioncoefficient)回归系数的统计学意义是：自变量每变化一个单位，依变量平均变化的单位数．（３）ei是残差，忽略2/3/202373