2020高考数学专题练习圆锥曲线的几何性质

2020高考数学专题练习圆锥曲线的几何性质1．椭圆的几何性质例1：如图，椭圆—+圧=l(a>b>0)的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中a2b2A．(2-氏)：3BA．(2-氏)：3B．-3):3C．D．:22．抛物线的几何性质例2:已知抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l:x=-1，点M在抛物线C上，点M在直线l:x=-1上的射影为A，且直线AF的斜率为―爲，则△MAF的面积为()肩B.2启c.4、：3D.8.33．双曲线的几何性质例3:已知点P是双曲线乂—21=1的右支上一点，M,N分别是圆(x+10)2+y2=4和3664(x-10)2+y2=1上的点，则\PM\-|PN|的最大值为-一、单选题

1•抛物线y2=2px（p〉0）上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则p=（）A.-B.1C.2D.422.设点F,F2是双曲线X2-计=1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3\pf\=4Iff;!则△PFF的12面积等于（）A.5\3B.3^15C.4.5D.^103•经过椭圆x2+2y2二2的一个焦点作倾斜角为45。的直线1,交椭圆于M,N两点，设OTOC\o"1-5"\h\z为坐标原点，则OM•ON等于（）111A.-3B.土C.—D.——3324.过抛物线y2=mx（m〉0）的焦点作直线交抛物线于P,Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，\pQ――m，则m=（）4A.4B.6C.8D.105-已知双曲线a-br-1（a〉0,b〉0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，沖是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A.—y2A.—y2—13C.兰-兰-1123TOC\o"1-5"\h\zDx2y2〔D.—14如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点户变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以FFF1F2为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行.已知椭圆轨道I和I的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道I和I的长半轴长分别为a，a，半焦距分别为c，c，则有（）1212A．ccaa12B.a一cA．ccaa12B.a一c<a一c1122C.cc1〉2aa12D.a一c〉a一c1122已知双曲线-y2=1，双曲线c2：02一一b=1（a〉b〉0）的左、右焦点分别为F，2,M是双曲线C的一条渐近线上的点，且0M丄MFO为坐标原点，若5二16，且双曲线C,CTOC\o"1-5"\h\z22，△OMF212的离心率相同，则双曲线C的实轴长是（）2A.32B.4C.8D.168•已知F是抛物线C:y二2x2的焦点，n是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2FM=MN，贝I」|FN|=()A.1A.1B.一D.x2y2卜2-1a2b2119-已知椭圆补J-=1（ai〉b1〉°）与双曲线C2：02x2y2卜2-1a2b21122点P是曲线C与C的一个公共点，e,e分别是C和C的离心率，若PF丄PF，贝9121212124e2+e2的最小值为（）1295A.B.4C.D.92210.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，A,B,C为抛物线C上三点，当FA+FB+FC=0时，一一一称△ABC为“和谐三角形”，贝和谐三角形”有（）A.0个B.1个C.3个D.无数个11.已知双曲线I：a2-b=i（a>0,匕>°）的左右焦点分别为,f2，椭圆「2：牛+t=1的离心率为e，直线MN过点F2与双曲线交于M，N两点，若cos分=cos上F&M，且g=e，则双曲线「1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A.3°。A.3°。,15°。B.45。,135°60°,120°15°，165°12.已知12.已知P为椭圆节+員=1上一个动点,过点P作圆（x+1》+y2=1的两条切线，切点分别是A,B，则PA-PB的取值范围为_3「B._356_C.-2逅-3,56-L2JL29」L9」A.二、填空题•已知过抛物线y2=-2x的焦点F，且斜率为"3的直线与抛物线交于A、B两点，则|af|.|bf|abTTOC\o"1-5"\h\z•已知椭圆一+y2=1的左、右焦点为F、F2，点F关于直线y=-x的对称点p仍在椭a2121圆上，则APFF的周长为-1215.P为双曲线斗-辱=1右支上一点,FF分别为双曲线的左、右焦点，且PF「PF2=0,491212直线PF交y轴于点A，则△AFP的内切圆半径为-——2116•已知直线l与椭圆兰+兰=1（a〉0,b〉0）相切于第一象限的点P（x0,y0），且直线l与xa2b200轴、y轴分别交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，ZFPF二60。（F、121F是椭圆的两个焦点），若此时在HPFF中，ZFPF的平分线的长度为亘a,则实数m的21212m值是.三、解答题17•设常数t〉2•在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2,0），直线l:x=t，曲线厂：y2=8x（0<x<t,y>0）-l与x轴交于点A、与厂交于点B-P、Q分别是曲线厂与线段AB上的动点.

⑵设t=3，\fQ=2，线段OQ的中点在直线FP，求△AQP的面积；(3)设t二8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在厂上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．18•与椭圆相交于A、B两点，F2关于直线11的对称点E在椭圆上•斜率为―1的直线12与线段AB相交于点P，与椭圆相交于C、D线段AB相交于点P，与椭圆相交于C、D两点.求椭圆的标准方程；1)2)求四边形ACBD面积的取值范围.答案1．椭圆的几何性质a2b2如图，椭圆—+—=l(a>b>0)的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、Aa2b2心为O，其离心率为亘，则S:S2△ABF△BFOA.C—、P3)A.C—、P3):3B.(2*3—3)：3C．(2―、'3)：2D.C\3—3):2【答案】B解析由S~解析由S~-S，得S△ABF△ABO△BFO△FBA:SOFB△oH△So而a与，所以j:j厂・3-3>3，故选B•抛物线的几何性质例2:已知抛物线C:y2=2px（p〉0）的焦点为F,准线l:x=-1，点M在抛物线C上，点M在直线l:x=-1上的射影为A，且直线AF的斜率为-誇，则△MAF的面积为（）A.心3B.2、冃C.4/3D.【答案】C【解析】设准线/与x轴交于点N，所以|FN|=2，因为直线AF的斜率为-爲，所以ZAFN=60。，所以|AF|=4,由抛物线定义知，|MA|=|MF|,且ZMAF=ZAFN=60。,所以△MAF是以4为边长的正三角形，其面积为込％42=处3.故选C.4双曲线的几何性质例3：已知点P是双曲线—21=1的右支上一点，m,N分别是圆（x+10）2+y2=4和3664（x—10）2+y2=1上的点，则|PMI—|PN|的最大值为.【答案】15【解析】在双曲线兰—竺=1中，a=6,b=8,c=10,3664

F(—10,0),F(10,0),|PF|-|PF|=2a=12,1212MP<|pf|+\mf\|pn|>|pfI—|nfI,•|pm|—|pn|<|pf|+|mfI—MP<|pf|+\mf\221122一、单选题1•抛物线y2=2px（p〉0）上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则p=（）【答案】C【解析】抛物线y2=2px（p〉0）上的动点Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：p=1，•p=2.本题选择C选项.22•设点F,F是双曲线X2—斗二1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF|=4|PF|12312则△PFF的面积等于（）12A.5爲B.3*15C.4.5D.2.10【答案】B【解析】据题意，|pf|=4Iff|，且|pf|—|pf|=2，解得|pf|=8,|pf|=6.|pf|I2+PF」|2-IFF2丄2PFPF12I1278132121278又Iff|=4，在APFF中由余弦定理，得cosZFPF=

从而sinZFPF-\1-cos2ZFPF从而sinZFPF-\1-cos2ZFPF-，所以S-x6x8x-3^15，故选B-12128△PFF23•经过椭圆x2+2y2=2的一个焦点作倾斜角为45。的直线1,交椭圆于M,N两点，设O为坐标原点，则OM•ON等于（）A.-3C.-13D.--2【答案】C【解析】椭圆方程为呂+y2-1,a-込,b-1,c-1，取一个焦点F（1,0），则直线方程2代入椭圆方程得3x2-4x=0，M（0,-1），，所以OM-ON二-1，故选C.3过抛物线y2=mx（m〉0）的焦点作直线交抛物线于P,Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，\pQm，则m-()4A.4BA.4B．6C.8D.10答案】B【解析】设PQ的坐标分别为I，片），（x2,y2），线段PQ中点的横坐标为3,则汇竺二3,2\pQ-x+x+p二6+—m，由此解得m-6.故选B.1244已知双曲线£-*-1（a〉0,b〉0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，E是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）B.xB.x2-f=1A.y-y2-1C.竺-兰=1412D.C.竺-兰=1412【答案】B【解析】双曲线a2一b2=心〉.〉。）的右焦点为「点A在双曲线的渐近线上，山是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c二2,b*3,即b2=3,^2二竺=3，解得°=1,b*3,aa2a2双曲线的焦点坐标在X轴，所得双曲线的方程为x2-疋=1，故选B.36•如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为—个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行•已知椭圆轨道I和II的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道I和II的长半轴长分别为a，a，半焦距分别为c，c，则有（）1212AccA.=2AccA.=2-aa12cc1>2-aa12B.a一c<a一c1122C.D.a一c>a一c1122ca一RRca一RR十二=1—,aaa111【解析】设圆形轨道III的半径为R,a-c=a-c=R1122ca一RR十二2二1—-,aaa222由a>a知r>^2，故选C.12aa12

7•已知双曲线C:竺-y2=1，双曲线C2：—-疋二l（a〉b〉0）的左、右焦点分别为F、，行,142a2b212M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM丄MF2O为坐标原点，若S^omf二16，且双22，△OMF2曲线C],C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（）A．32B．4C．8D．16【答案】D【解析】双曲线C:兰-y2=1的离心率为卫，设笃（c,0），双曲线C2—条渐近线方程为14222by二x,a可得|fm|=：bc可得|fm|=：bca2+b2即有|OM|=-Jc2-b2=a,由Saomf2=16'可得2ab二16艮卩ab=32，又a2+b2=c2，且—=a解得a=8,b=4,c=4^5，即有双曲线的实轴长为16•故选D.8.已知F是抛物线C:y二2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M,若2FM=MN,贝I」|FN|=()A.1【答案】DB.cA.1【答案】DB.c.5D.解析】1由题意得点F的坐标为（0,-}设点M的坐标（x0,y0），点N的坐标（a,0）,所以向量：FM=x,y00MN=由向量线性关系可得：3x=a所以向量：FM=x,y00MN=由向量线性关系可得：3x=a04=-%，解得:12代入抛物线方程可得：<612由两点之间的距离公式可得：刖=5•故选D.9-已知椭圆q•+=1（a1〉b>0）与双曲线C2:-=1（a2〉0，b2〉0）有相同的焦点1a2b2112a2b2221122F，F，12点P是曲线C与C2的一个公共点,ei,e2分别是C和C2的离心率，若PF1丄PF?，则4e2+e2的最小值为（）【答案】A【解析】由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2耳，双曲线实轴为2a2,令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|pf|-|PF|=2°2，①由椭圆定义\PF11+|PFj=2ai，②又tpfi丄pf^，^IffI2+|pf|2=4c2，③①2+②2，得|pf|2+IffI2=4^2+4a22，④将④代入③，得a2+a2=2c2，12

4ei24ei2+e22=4c2a21c252a2a2+=一+—+—a22a22a221259'2+2=2，故选A10.已知F为抛物线C:y2二4x的焦点，A,B,C为抛物线C上三点，当FA+FB+FC二0时，一一一称△ABC为“和谐三角形”，贝£和谐三角形”有（）A.0个B.1个C.3个D.无数个【答案】D【解析】抛物线方程为y2=4x，A，B，C为曲线C上三点,当FA+FB+FC二0时，F为△ABC的重心,用如下办法构造△ABC，连接AF并延长至D，使FD二1AF，2当D在抛物线内部时，设D（x（）,y°），若存在以D为中点的弦BC,设B（件,J,C（、,n2则m则mi+佗二2x0，ni+笃=2y0n-n“i2=k，m-mBC12则Jn则Jni2=4miIn22=4m2kBCn-n-—12m-mi2两式相减化为（n+n二供=4,i2m-mi2-2，所以总存在以D为中点的弦BC，所以这样的三角形有无数个，故选D.y011'已知双曲线Ifl-琴-1（a>0，b>0）的左右焦点分别为Fi，F2，椭圆「2烽+号=1的离心率为e，直线MN过点笃与双曲线交于M，N两点，若cosZFMN-cosFM，

且勢=e，则双曲线ri的两条渐近线的倾斜角分别为（）I空1A.30。,150。B.45。,135。C.60。,120。D.15。,165。【答案】C【解析】由题cosZFMN由题cosZFMN=cos"1今，•••，FMN=ZFF2MMJ』FF2|=2c,由双曲线的定义可得IMF1=1MF^-2a=2c-2a,•.•椭圆r2:-+斗=1的离心率为：e―—=,•••^M=e=,•••INF」=4c,23422321|nF2I=4c-2a,在△M^F2在△M^F2中，由余弦定理的cosZ^1FM=4c2+（2c-2a》-4c2-2c-（2c-2a）c-a2c在△N£F2在△N£F2中，由余弦定理可得:cosZFFN=4c2+（4c-2aE二匸2122-2c-（4c一2a）a2+c2一4ac2c（2c-a）•TF2M+ZF1F2N=n，cosZFFM+cos•TF2M+ZF1F2N=n，12122c2c12c-a）整理得

设双曲线的离心率为3e2-7e+2=0，解得e=2或1（舍）•11113•••心竺=4,.3a2=b2，即b=点•二双曲线的渐近线方程为y=±^3x,a2a•••渐近线的倾斜角为60。，120。•故选C.12•已知P为椭圆手+号=1上—个动点，过点P作圆（X+1）2+y2=1的两条切线，切点分别是A,B，则PA-PB的取值范围为（）A.A.「3〉B.[356]L2JL29」C.2^2—D.2^2—3,+』【答案】C【解析】如图，由题意设ZAPB=20，则|pa|=|pb|=_X_tan0PA-PB=PAPBcos20=—^-cos20=1+C°s20•cos20tan201—cos20设2=t，则PA•PB=怦=(1—t)+在-3'2詐—)在-3=20-3,当且仅当1—1=2，即t=1-辽时等号成立，此时cos20=1-、辽.1—t

又当点P在椭圆的右顶点时，sin又当点P在椭圆的右顶点时，sin9=137•••cos29=1-2W9,1+7此时PA-PB最大，且最大值一9756X—=-[79919•••PA-PB的取值范围是242-3,56，故选C.9二、填空题13•已知过抛物线y2=-2x的焦点F,且斜率为.3的直线与抛物线交于A、B两点，则|af|・|bf|AB'【答案】12112【解析】由y2=-2x知p=1，由焦点弦性质两+BF=-=2,而|af|・|bf||af|-IbF1p1AB\|AF|+|BF\1,122'AF|BFi14•已知椭圆匸+y2“的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线y=-x的对称点P仍在椭圆上，则f2的周长为【解析】设件（-c,0）,F2（c,0）（c>0）,F］关于直线y=-x的对称点P坐标为（0,c）,点P在椭圆上，贝I」:—+c2-1，贝I」c-b-1,a2-b2+c2-2,则a—込,a2故△PF1F的周长为:|pf|+IpfJ+1賈1-2a+2c-2远+2.15.P为双曲线壬-22-1右支上一点，F,F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF-pf2-0,491212直线PF2交y轴于点A，则△AFP的内切圆半径为.一一【答案】2【解析】■/PF］丄PF,△APF1的内切圆半径为r,二|PFj+|PA|-|AF|-2r,A|PF|+2a+|pa|-|AF|-2r,•••“|-眄|-2r-4,•••由图形的对称性知：IafJ-|AF|,Ar-2.故答案为2.16•已知直线1与椭圆夕+£-1（a>0，b>°）相切于第一象限的点P（%，%），且直线1与x轴、y轴分别交于点A、B,当AAOB（O为坐标原点）的面积最小时，ZFPF-60。（F、F1212是椭圆的两个焦点），若此时在5PFF中，ZFPF的平分线的长度为空a，则实数m的值1212

【答案】52【解析】由题意，切线方程为的直线l与直线l与x轴分别相交于点AB，.A(a2〕—,0，Bf0,竺:，•S=—ab21xo丿1y0丿△AOB2x0y0a2b2X2+出=1>沁，.•.丄>2，...s>ab，当且仅当Xo=&二辽时,2陀abxoy0ab"ab2△AOB（O为坐标原点）的面积最小，设\pf\=x，\PF2\=y，由余弦定理可得4c2=X2+y2—xy=4a2-3xy.S△PFF121=—xy.S△PFF121=—xysin60°231c—x2cxy2o3平平PF的内角平分线长度为迈a12mT3b2尻用7TOC\o"1-5"\h\z•y==b，・.c-b，・.a=b，o3c233311v31<3,xxxax+-—xyxax=b2，m22m233axx2m2a=x15b2二b22m93•m=2，故答案为5三、解答题17•设常数t>2•在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2,0），直线l:x=t，曲线厂：

y2=8x（0<x<t,y>0）.1与x轴交于点A、与r交于点B-P、Q分别是曲线r与线段AB上的动点．⑵设t=3,|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP，求△AQP的面积;⑶设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在r上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案（1）t+2；（2）；（3）存在，p6【解析（1）方法一：由题意可知：设BC2、込）,贝0|bf|=St-2）2+8t=t+2|bf|=t+2;方法二由题意可知：设方法二由题意可知：设B（,2运）,由抛物线的性质可知：|BF|=t+p=t+2,.・.|BF|=t+2;^2⑵F(2,0),|FQ=2,t二3，则|FA|=1,\AQ\=\：3'二QG,*：2