概率论与数理统计第七章

第七章统计推断的基本问题

数理统计研究用随机抽样方法，从总体获取样本，并从样本推断总体的性质。本章讨论统计推断的方法。统计推断的主要方法是归纳推理，利用它可以得到结论“不确定性的描述”，而对不确定程度要作出表述，就必须要用到概率的概念。当然，统计推断方法若不用于现实世界，就将失去意义，而只能作为一种推理练习。因而，本章常用结合所讨论的实例来介绍统计推断的做法。统计推断的问题有很多，本章只是讨论最基本的参数估计和假设检验两类问题。第一节点估计7.1.1点估计概念7.1.2矩估计法返回最大似然估计法7.1.3点估计的优良性1、估计量2、估计值7.1.1点估计概念设总体X的分布中含有未知参数,为总体的一个样本.用这个样本构造的统计量来估计,则称为估计量.用样本的一组观察值得到估计量的值则称为的估计值.为方便起见，估计量与估计值不加区别，统称为估计。3、点估计用构造一个统计量对参数作定值的估计称为参数的点估计。7.1.2.1矩估计法1、原理设X为总体，为样本，为样本均值，则根据大数定律，有：即当n很大时，样本均值就很接近于总体均值。因此，当n很大时，用样本均值来估计总体均值是比较合理的。此依据推而广之：用样本的k阶中心矩来估计总体k阶中心矩。即用来估计。矩估计法2、矩法估计的步骤:(1)列出矩估计式.求总体的前k阶矩(2)解上述方程组.将未知参数表示为的函数(3)求出矩估计.即用样本矩代替总体相应的矩得到未知参数的矩估计为解（1）列出矩估计式（2）求解方程组得（3）求出矩估计用分别代替即得矩估计：例1求总体X的均值EX与方差DX的矩估计.例2求总体X的服从参数为的指数分布，求的未知参数矩估计.解（1）列出矩估计式（2）求解方程得（3）求出矩估计例3

设总体X的概率密度函数为是取自的X的一个样本.（1）求的矩估计量;（2）求的方差.解（1）列出矩估计式求解方程得:例3设总体X的概率密度函数为是取自的X的一个样本.（1）求的矩估计量;（2）求的方差.解（2）7.1.2.2最大似然估计法设是取自总体X的一个样本观察值,分布函数为如果当未知参数取时,被取到的概率最大,则称为的最大似然估计.1、最大似然估计的原理设总体X的概率分布为称为似然函数则样本的联合概率分布为即使达到最大的即为的最大似然估计.2、离散型:3、连续型：设总体X的密度函数为是待估计参数。是取自X的一个样本。则的联合密度函数为称为似然函数

即使达到最大的即为的最大似然估计.3、连续型：使达到最大的即为的最大似然估计.2、离散型:4、估计步骤：a.写出似然函数b.求出使达到最大的c.用作为的估计量，的函数作为的同一函数的估计量。用5、解题具体步骤：a.写出似然函数b.求对数似然函数c.求导并令其导数等于0d.解上述方程组。即为的最大似然估计。其唯一解例1离散型随机变量X服从分布，从X中抽得容量为n的样本的一组观察值求参数p的最大似然估计，其中解（a）（b）（c）（d）例2求总体X的服从参数为的指数分布，求的最大似然估计.解（a）（b）（c）（d）例3求总体，求与的最大似然估计.解（a）（b）（c）（d）例4设总体为取自总体的一个样本观察值，求未知参数的最大似然估计。解从这个例子我们还看到最大似然估计不一定能由似然函数解得，因为似然函数对未知参数可能是单调函数或者不可微.例5

设某种元件的使用寿命X的概率密度为其中是未知参数。又设是X的一组样本观测值。求参数的最大似然估计值.解例6

设总体X的概率分布为其中是未知参数，利用总体X的如下样本值求的矩估计值和最大似然估计值。解(1)矩估计例6

设总体X的概率分布为其中是未知参数，利用总体X的如下样本值求的矩估计值和最大似然估计值。解(1)最大似然估计例7

设总体X的概率密度为为来自X的简单其中是未知参数，简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数，求的最大似然估计。解例8

设总体X的概率密度函数为其中是未知参数。是取自X的一个样本。分别用矩法估计和最大似然估计法求的估计量.解（1）列出矩估计式例8

设总体X的概率密度函数为其中是未知参数。是取自X的一个样本。分别用矩法估计和最大似然估计法求的估计量.解(2)7.1.3点估计的评选标准7.1.3.1无偏性7.1.3.2有效性7.1.3.3一致性返回7.1.3.1无偏性设是参数的估计量,若则称是的无偏估计.例1证明样本均值与样本方差分别是总体均值与总体方差的无偏估计.证明：例2设总体为简单随机样本,则的无偏估计量为（A）（B）（C）（D）解：例3设是正态总体的一个样本。求适当的常数c，使得为的无偏估计。解：7.1.3.2有效性设与都是的无偏估计,若对任意样本容量n,都有则称较有效.例1设总体X的期望为，方差为，分别抽取容量为的两满足的常数，则就是的无偏估计，个独立样本，为两个样本的均值，试证：如果a,b是并确定a,b,使DY最小。解：7.1.3.3一致性设是参数的估计量,当时,依概率收敛于,即对任意,有则称是的相合估计量或一致估计量.1、样本均值和样本方差分别是是总体期望和方差的无偏估计.一些重要结论2、样本的任意k阶原点矩均是对应的总体k阶原点矩的一致估计.3、若为的无偏估计,且,则为的一致估计。4、若为的矩估计,为连续函数,则为的矩估计.5、若为的最大似然估计,为单调增函数,则为的最大似然估计.第二节参数的区间估计返回7.3.1基本概念7.3.2单个正态总体的区间估计7.3.3两个正态总体的区间估计7.3.1基本概念1、置信区间与置信度设总体X的分布中含有未知参数，若与为由样本所确定的两个统计量，若对给定的常数有则称为参数的置信度(置信水平)为的置信区间。置信下限置信上限假设总体X服从正态分布7.3.2单个正态总体的区间估计是样本.考虑下面几种区间估计:（1）已知，求的置信区间（2）未知，求的置信区间（3）已知，求的置信区间（4）未知，求的置信区间易知取统计量则有对给定的置信度,使即从而有即的置信度为的置信区间为7.3.2.1已知，求的置信区间例1已知某厂生产的滚珠直径，从某天生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径为（单位：mm)求的置信概率为0.95的置信区间。解：例2（03）已知一批零件的长度x（单位：cm）服从正态分布从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40的置信区间是

。（cm），则的置信度为0.95（注:标准正态分布函数值）解：7.3.2.2未知，求的置信区间取统计量对给定的置信度,使即从而有即的置信度为的置信区间为例1设总体X的样本方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的置信度近似等于0.95的置信区间为

。解：7.3.2.2未知，求的置信区间7.3.2.1已知，求的置信区间

取统计量对给定的置信度,使从而得到的置信度其中

7.3.2.3已知，求的置信区间为的置信区间为例1已知某厂生产的零件，从某天生产的零件中随机抽取4个，得样本观察值求的置信概率为0.95的置信区间。解：取统计量对给定的置信度,使其中7.3.2.4未知，求的置信区间从而得到的置信度为的置信区间为7.3.2.3已知，求的置信区间7.3.2.4未知，求的置信区间例1已知某厂生产的零件，从某天生产的零件中随机抽取4个，得样本观察值求的置信概率为0.95的置信区间。解：7.3.3两个正态总体的区间估计已知两个相互独立正态总体考虑下面几种区间估计:分别为其样本。与（1）已知，求的置信区间（2）未知，求的置信区间（3）已知，求的置信区间（4）未知，求的置信区间7.3.3.1已知，求的置信区间取统计量对给定的置信度,使从而得到的置信度为的置信区间为[P176定理8]例1设两总体X,Y相互独立,且从X,Y中分别抽取容量为的样本，且算得求的95%的置信区间.解：7.3.3.2未知，求的置信区间取统计量对给定的置信度,使从而得到的置信度为的置信区间为[P177定理9]7.3.3.1已知，求的置信区间7.3.3.2未知，求的置信区间取统计量对给定的置信度,使从而得到的置信度为的置信区间为，其中7.3.3.3已知，求的置信区间取统计量对给定的置信度,使从而得到的置信度为的置信区间为，其中7.3.3.4未知，求的置信区间[P177定理9]第三节假设检验8.1.1假设检验的思想方法8.1.2两类错误8.1.3假设检验的基本步骤返回8.1.1假设检验的思想方法2、原理（1）提出假设（2）在假设成立的条件下，构造一个小概率事件A，小概率原理：小概率事件在一次试验中是不太会发生的。（3）根据样本值判断：若在这一次试验中小概率事件A发生了，则拒绝假设若在这一次试验中小概率事件A未发生，则接受假设1、原假设与备择假设3、接受域与拒绝域小概率拒绝域：

R样本点落入R：拒绝接受域：样本点落入

：接受第一类错误：弃真正确，但拒绝了它。不正确，但接受了它。第二类错误：采伪犯第一类错误的概率：显著性水平8.1.2两类错误（1）提出假设（2）找统计量；（3）求临界值；对给定的显著性水平，构造拒绝域，求出临界值；（4）求观察值根据给定的样本计算出统计量的观察值；（5）作出判断统计量的观察值落入拒绝域，则拒绝；否则接受。8.1.３假设检验的基本步骤要求：在下的分布知道①②④③⑤第二节单个正态总体的假设检验返回8.2.1已知方差，检验8.2.2未知方差，检验8.2.3已知期望，检验8.2.4未知期望，检验假设总体X服从正态分布是样本.考虑下面四种情况:8.2.1已知方差，检验8.2.2未知方差，检验8.2.3已知期望，检验8.2.4未知期望，检验步骤提出假设：找统计量：求临界值：求观察值：作出判断：①②④③⑤查表得则拒绝若则接受8.2.1已知方差，检验例某砖厂生产的砖其抗拉强度X服从正态分布,今从该厂产品中随机抽取6块，测得其平均抗拉强度为31.13.试检验这批砖的平均抗拉强度为32.5是否成立,取显著性水平解:提出原假设找统计量在成立的条件下构造拒绝域查表得备择假设：使得由样本值算得拒绝临界值①②③④⑤步骤提出假设：找统计量：求临界值：求观察值：作出判断：①②④③⑤查表得则拒绝若则接受8.2.2未知方差，检验例21用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度.设测量值今重复测量7次，测得温度如下：112.0，113.4，111.2，112.0，114.5，112.9，113.6解:提出原假设找统计量在成立的条件下构造拒绝域查表得备择假设：使得由样本值算得临界值①②③④⑤而用某种精确方法测量温度的真值现问用热敏电阻测温仪间接测量温度有无系统偏差？设显著水平接受步骤提出假设：找统计量：求临界值：求观察值：作出判断：①②④③⑤若则拒绝若则接受接受域8.2.3已知期望，检验例22某涤纶厂生产涤纶的纤度，在正常生产的条件下，服从正某日随机地抽取5根纤维，测得纤度为：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44解:提出原假设找统计量,在成立的条件下求临界值备择假设：由样本值算得观察值①②③④⑤问这一天涤纶纤度总体X的方差是否正常？拒绝态分布步骤提出假设：找统计量：求临界值：求观察值：作出判断：①②④③⑤若则拒绝若则接受接受域8.2.4未知期望，检验例23某涤纶厂生产涤纶的纤度，在正常生产的条件下，服从正某日随机地抽取5根纤维，测得纤度为：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44解:提出原假设找统计量,在成立的条件下求临界值备择假设：求观察值①②③④⑤问这一天涤纶纤度总体X的方差是否正常？拒绝态分布第三节两个正态总体的假设检验返回8.3.3已知,检验8.3.1已知,检验8.3.2未知,检验8.3.4未知,检验已知两个相互独立正态总体考虑下面四种情况:分别为其样本。与8.3.3已知,检验8.3.1已知,检验8.3.2未知,检验8.3.4未知,检验8.3.1已知,检验步骤提出假设：找统计量：求临界值：求观察值：作出判断：①②④③⑤查表得若则拒绝若则接受例24设甲、乙两厂生产的灯泡,其寿命和分别服从现从两厂生产