材料力学第四章弯曲内力1

材料力学6何斌806379258@04二月2023第4章剪力图与弯矩图

杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。

在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。

在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。

对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。

第4章剪力图与弯矩图工程中的弯曲构件剪力方程与弯矩方程载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系梁的内力及其与外力的相互关系剪力图与弯矩图刚架的内力与内力图结论与讨论工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件2010年6月6日，中国选手何姿(右)/吴敏霞在比赛中。当日，在江苏常州进行的2010年第17届国际泳联跳水世界杯女子双人3米跳板决赛中，何姿/吴敏霞夺冠。

工程中的弯曲构件上图：水闸立柱下图：跳板弯曲实例工程中的弯曲构件主要约束形式与反力

固定铰支座：支反力FRx与FRy

可动铰支座：垂直于支承平面的支反力

FR

固定端：支反力

FRx,FRy与矩为

M

的支反力偶工程中的弯曲构件FFFF

简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁

外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁

悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁（

Ch12

研究）常见静定梁静不定梁常用梁截面纵向对称面平面弯曲概念纵向对称面P1P2变形前P1P2变形后第4章剪力图与弯矩图工程中的弯曲构件剪力方程与弯矩方程载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系梁的内力及其与外力的相互关系剪力图与弯矩图刚架的内力与内力图结论与讨论梁的内力及其与外力的相互关系FS－剪力M－弯矩梁的内力分析方法：截面法剪力－作用线沿所切横截面的内力分量弯矩－矢量沿所切横截面的内力偶矩分量由梁左段平衡求得在m-m截面：注意：设正法。梁的内力及其与外力的相互关系剪力：使微段有沿顺时针方向转动趋势为正弯矩：使微段弯曲呈下凹形为正弯矩符号另一定义：使横截面顶部受压为正剪力与弯矩的符号规定常规水平梁的受力模式——弯矩正向梁的内力及其与外力的相互关系

假想地将梁切开，并任选一段为研究对象

画所选梁段的受力图，FS与

M

宜均设为正

由

S

Fy

=

0

计算

FS

由

S

MC

=

0

计算

M，C

为截面形心任一指定截面剪力与弯矩的计算思考：均布载荷、集中载荷、集中力偶两侧剪力是否相等？弯矩是否相等？第4章剪力图与弯矩图工程中的弯曲构件剪力方程与弯矩方程载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系梁的内力及其与外力的相互关系剪力图与弯矩图刚架的内力与内力图结论与讨论剪力方程与弯矩方程剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。

为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。

建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力作用状况，确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。

确定了分段之后，在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为x；然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩M(x)都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程FQ(x)和弯矩方程M(x)。

例题图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0，试求截面C上的内力。解：先求支反力xyABalCq0FBFAq0l/2例题截面C的内力思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合力代替来求截面C的内力？FSCMCFAaAa/3例题建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图qqa2aaABCx可以不求支反力建立坐标建立剪力弯矩方程：FS=-qx

(0£

x

£a)

M=-qx2/2(0£

x<a)

FS=-qa

(a

£

x<2a)

M=qa2-qa(x-a/2)(a<x<2a)

$

在集中力偶作用处(包括支座)弯矩有突变第4章剪力图与弯矩图工程中的弯曲构件剪力方程与弯矩方程载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系梁的内力及其与外力的相互关系剪力图与弯矩图刚架的内力与内力图结论与讨论载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系微积分关系的推导取梁一长dx微段，研究它的平衡q向上为正

x向右为正注意：积分关系：载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系一、微积分关系的几何意义（用于快速画剪力弯矩图）1.微分关系确定线形（Fs斜率=q，M斜率=Fs)q>0，Fs上斜；q<0，Fs下斜；q=0，Fs水平；q=常数，Fs直线。Fs>0，M上斜；Fs<0，M下斜；Fs=0，M水平。2.

积分关系确定各段起点、终点值（面积关系）。3.

载荷q的符号确定M图的凹凸性。q>0，M凹；q<0，M凸（喻打伞）；q=0，M直线。载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系二、集中载荷情形M右qF左M左F右dxFqF左M左F右M右dxMF左+q(x)dx+F=F右M左+F左dx+Fdx/2+q(x)dx2/2=M右1.集中力处（向上为正）F左+F=

F右，M左

=M右2.集中力偶处（顺时针为正）F左+q(x)dx=F右M左+F左dx+M+q(x)dx2/2=M右F左

=

F右，M左+M

=M右结论：在集中力处，剪力图沿集中力方向跳跃（突变）在集中力偶处，弯矩图跳跃，顺时针力偶向上。第4章剪力图与弯矩图工程中的弯曲构件剪力方程与弯矩方程载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系梁的内力及其与外力的相互关系剪力图与弯矩图刚架的内力与内力图结论与讨论例题利用微积分关系画剪力弯矩图ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：FAy=5qa/8FDy=7qa/85qa/87qa/83、积分关系求特征点剪力弯矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲线斜上斜上M图斜下水平水平Fs图q=常数<0q=0q=0qFSFSABCD+-5qa/8qa/87qa/8MMABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1282、微分关系确定各段曲线形状：4、画剪力弯矩图：例题：利用微积分关系画剪力弯矩图AB2/3qa21/3qa2CD1/3qa2++-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-ABa/2--+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C-qaqa22qaaACBqa例题：利用微积分关系画剪力弯矩图-剪力图凸曲线1.载荷的坐标图2.分析剪力图凹凸性3.求剪力图零点4.求弯矩图极值●利用微积分关系画剪力弯矩图小结3次凹曲线(伞）3次凹曲线(伞）2次凹曲线(伞）2次凸曲线

(伞）直线M图2次凸曲线2次凹曲线Fs图q(x)=ax+b>0(a<0)q(x)=ax+b>0(a>0)q(x)=c>0q(x)=c<0q(x)=0q线形与外载关系利用微积分关系画剪力弯矩图小结M图:斜率Fs=常数，M直线;Fs>0,上斜；Fs<0,下斜。集中力偶Mo处,M图按Mo大小跳,Mo顺时钟上逆下。

各段起终点M值=Fs图左边面积+q图集中力偶值。

Fs=0处,M图极值点(或拐点)

q>0处,M图凹;q<0处,M图凸(喻:雨伞)Fs图:

斜率q=常数,Fs直线;q>0,上斜;q<0,下斜集中力F处,Fs按F大小,方向跳各段起终点Fs值=q图左边面积+集中力值(含支反力)校核:

两图右边回零点.线形看微分，段值看积分。例：利用微积分关系画剪力弯矩图第4章剪力图与弯矩图工程中的弯曲构件剪力方程与弯矩方程载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系梁的内力及其与外力的相互关系剪力图与弯矩图刚架的内力与内力图结论与讨论刚架的内力与内力图刚架：用刚性接头连接的杆系结构一、刚架刚性接头的力学性质：

约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移

受力－既可传力，也可传递力偶矩刚架的内力与内力图二、刚架的内力及其符号刚架的内力包括轴力、扭矩、剪力和弯矩，其中轴力、扭矩和剪力符号与前相同。弯矩图不标正负号，画在受压一侧。认为正弯矩观察者B观察者A认为负弯矩两观察者均会将图画在右侧（受压侧）注释：弯矩符号规定下凹为正，上凸为负，与坐标方向相关。无论是正弯矩，还是负弯矩按规定都画在受压一侧，与坐标方向无关。实际作图，可任选正向，不标正负号，即可取得一致：画在受压一侧。刚架的内力与内力图刚架拆为分段的梁根据微积分关系画图刚架的内力与内力图将分段梁的剪力与弯矩图合成为刚架总的剪力弯矩图，弯矩图不标正负号。轴力、扭矩、剪力图符号是否相同？是否会画在同一侧？弯矩图符号是否相同？是否会画在同一侧？思考：按上述方法画刚架内力图，例题ABqCaa1、求支反力FAx=qa

FAy=qa/2，Fcy=qa/2FAyFAxFCy2、建立局部坐标x2x13、分段列内力方程：CB段：Fs=-Fcy=-qa/2M=qax1/2FN=0AB段：Fs=qa-qx2

M=qax