第九章导体和电介质中的静电场

普通物理解题方法研究温州大学主讲教师：季永运第九章导体和电介质中的静电场一、静电场中的导体二、空腔导体内外的静电场三、

电容器的电容四、电介质及其极化五、电介质中的静电场六、有电介质时的高斯定理电位移七、电荷间相互作用能静电场的能量本章内容：静电平衡条件：静电平衡：导体内部场强处处为零电场电势导体为一等势体表面场强垂直于导体表面导体表面是一个等势面导体中电荷的宏观定向运动终止，电荷分布不随时间改变。

导体的静电平衡1.导体的静电平衡一、静电场中的导体电荷分布在导体表面，导体内部场强处处为零。2.2空腔导体

（1）腔内无带电体：电荷分布在导体表面，导体内部及腔体的内表面处处无净电荷。2.导体上的电荷分布

2.1

实心导体+++++++++

导体上的电荷分布

（2）腔内有带电体：腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。未引入q时放入q后+++++++++++++++q++

导体上的电荷分布导体的表面场强由高斯定理可证明

导体上的电荷分布

孤立导体面电荷分布表面曲率越大，面电荷密度越大。尖端放电现象例题9-1

两个半径分别为R和r

的球形导体（R>r），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。Q导体上的电荷分布解:

两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球的电势为Q导体上的电荷分布可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。两球的电荷密度分别为可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。导体上的电荷分布例.证明两无限大平行金属板达到静电平衡时，其相对两面带等量异号电荷，相背两面带等量同号电荷。证明：

从左至右一共有四个带电平面，设其所带电荷的面密度依次为1、2、3、4。以向右作为电场正向。左边导体中任意一点的场强：

导体上的电荷分布相对两面带等量异号电荷.相背两面带等量同号电荷.证毕.在右边导体中任取一点，则该点

导体上的电荷分布相对两面带等量异号电荷.相背两面带等量同号电荷.证毕.在右边导体中任取一点，则该点

导体上的电荷分布1.空腔导体内外的静电场

二、空腔导体内外的静电场

(1)腔内无带电体导体内部及腔体的内表面处处无净电荷。

腔内无带电体，空腔导体外的电场由空腔导体外表面的电荷分布和其它带电体的电荷分布共同决定。

（2）腔内有带电体：腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定，腔外导体和电场不影响腔内电场。2.静电屏蔽

在静电平衡状态下，空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布；一个接地的空腔导体，空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响。这种使导体空腔内的电场不受外界影响或利用接地的空腔导体将腔内带电体对外界影响隔绝的现象，称为静电屏蔽。静电屏蔽

根据静电平衡时导体内部电场处处为零的特点，利用空腔导体将腔内外的电场隔离，使之互不影响。

a.

腔内无带电体：腔外电场不能穿入腔内，腔内电场恒为零。q-qb.腔内有带电体：导体接地，可屏蔽内电场。q静电屏蔽例

在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量q和Q。试求：（1）小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势；（2）小球与球壳的电势差；（3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。空腔导体内外的静电场解：（1）由对称性可以肯定，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷q将在球壳的内外表面上感应出-q和＋q的电荷，而Q只能分布在球壳的外表面上，故球壳外表面上的总电荷量为q+Q。小球和球壳内外表面的电势分别为空腔导体内外的静电场球壳内外表面的电势相等。（3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消失。两球的电势分别为（2）两球的电势差为空腔导体内外的静电场两球的电势差仍为

由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时，小球的电势低于球壳,与小球在壳内的位置无关，如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到Vr-VR=0为止。空腔导体内外的静电场两球的电势差仍为

由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时，小球的电势低于球壳,与小球在壳内的位置无关，如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到Vr-VR=0为止。空腔导体内外的静电场三、

电容器的电容1.孤立导体的电容真空中孤立导体球R任何孤立导体，q/U与q、U均无关，定义为电容电容单位：法拉（F）计算电容的一般方法：q—

其中一个极板电量绝对值U1-U2—两板电势差电容器的电容：

先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电势差，最后代入定义式。2.电容器的电容电容器：两相互绝缘的导体组成的系统。电容器的两极板常带等量异号电荷。例:(1)平板电容器几种常见真空电容器及其电容Sd电容与极板面积成正比，与间距成反比。电容器的电容（2）圆柱形电容器电容器的电容(3)球形电容器电容器的电容理论和实验证明充满介质时电容真空中电容相对介电常数(4)电介质电容器电容器的电容3.电容器的串联和并联电容器性能参数：电容和耐压…(1)并联：(2)串联：…增大电容提高耐压(3)混联：AB根据连接计算满足容量和耐压的特殊要求电容器的串联和并联例三个电容器按图连接，其电容分别为C1

、C2和C3。求当电键K打开时，C1将充电到U0，然后断开电源，并闭合电键K。求各电容器上的电势差。解已知在K闭合前，

C1极板上所带电荷量为q0=C1

U0

，C2和C3极板上的电荷量为零。K闭合后，C1放电并对C2

、C3充电，整个电路可看作为C2、C3串联再与C1并联。设稳定时，C1极板上的电荷量为q1，C2和C3极板上的电荷量为q2，因而有KU0+q0-q0C1C2C3电容器的串联和并联解两式得因此，得C1

、C2和C3上的电势差分别为电容器的串联和并联电容器的串联和并联电容器的串联和并联练习五个电容联接如图，己知，试求A、B间电容.解：把原图变换成右图，就可看出，因故为对称的桥路电容.若在A、B两点间加上电压，则E、D两点间的电势相等，因此可以去掉，即让，而不影响的值，便得

或者，把短路，即让，也不影响的值，这样便得两种方法结论相同四电介质及其极化电介质：绝缘体，无自由电荷。电介质极化特点：内部场强一般不为零。1.有极分子和无极分子电介质

有极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心不重合。负电荷中心正电荷中心

无极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心重合。++H+HO

加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心不再重合，出现分子电矩。

在外电场中有极分子的固有电矩要受到一个力矩作用，电矩方向转向和外电场方向趋于一致。3.电极化强度矢量（1）电极化强度矢量单位体积内分子电矩的矢量和。（2）空间任一点总电场总电场外电场束缚电荷电场（3）电极化强度与总电场的关系极化率（4）极化率与相对介电常数的关系电极化强度矢量

束缚电荷与电极化强度的关系：例

半径R

的介质球被均匀极化，极化强度为P。求：1)介质球表面的分布；2)极化电荷在球心处的场。由此可知，右半球面上左半球面上2)在球面上取环带解：1)球面上任一点电极化强度矢量E沿x轴负方向。在球心处的场电极化强度矢量五、电介质中的静电场

空间任一点总电场总电场外电场束缚电荷电场++++++++++

电介质内电场

两板间电势差

充满电介质时的电容为

则

电介质内部场强减弱为外场的1/r这一结论并不普遍成立，但是场强减弱却是比较普遍的。电介质中的静电场六、有电介质时的高斯定理电位移1.有电介质时的高斯定理电位移定义：电位移矢量有介质时的高斯定理

通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。2.三矢量之间关系三矢量间关系练习:平行板电容器原场强为.在平行板电容器中充满极化率为的电介质.求:电介质中的场强.又在平行板电容器中充满极化率e的介质，其场强为解:思考：以上结论有何意义？例.一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半径为R2，内外筒间充满相对介电常数为r的油，在内外筒间加上电压U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。解：根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和电位移矢量均应有柱对称性。设内圆筒单位长度带电为，以r为底半径、l为高作一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则由电位移与电场的关系，知内外筒电势差代入得到电场的分布为：沿半径向里由得电极化强度矢量的分布沿半径向里由得束缚电荷的分布束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。练习一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷的面密度分别为+和-，，电压U0=200V。撤去充电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一半空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚电荷。（忽略边缘效应）解：忽略边缘效应，板间各处、均垂直于板面,且在同一介质中相同。

以1、2分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密度，表示各介质中的电场和电位移。有电介质时的高斯定理电位移电介质中高斯定理分别考虑三种介质：介质1介质2介质3

在各电介质中作圆柱形高斯面，两底面平行于极板，上底在上极板内。

侧面、上底面电场电位移通量均为零。有电介质时的高斯定理电位移可解得由电场与电位移关系得：平衡时导体是等势体电荷守恒有电介质时的高斯定理电位移由得束缚电荷的分布上负下正上负下正上负下正有电介质时的高斯定理电位移例题

一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场强及极化电荷分布。解:根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高斯定理来。如图所示，过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知RQ0rPS所以写成矢量式为,所以离球心r处P点的场强为因

结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍,可求出电极化强度为电极化强度与有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为

因为εr>1，上式说明σ’恒与q0反号，在交界面处自电荷和极化电荷的总电荷量为

总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。

解（1）设场强分别为E1

和E2

，电位移分别为D1和D2

，E1和E2

与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得例题

平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为ε1

和ε2

，厚度分别为d1

和d2

，电容器两板极上自由电荷面密度为±σ。求（1）在各层电介质的电位移和场强，（2）电容器的电容.+E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22有电介质时的高斯定理电位移所以即在两电介质内，电位移和的量值相等。由于所以

可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。有电介质时的高斯定理电位移

为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面S2

，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得再利用可求得方向都是由左指向右。有电介质时的高斯定理电位移q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为

可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板A、B间的电势差为有电介质时的高斯定理电位移q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为

可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板A、B间的电势差为有电介质时的高斯定理电位移七、电荷间相互作用能静电场的能量

电荷之间具有相互作用能（电势能），当电荷间相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能转化为其它形式的能量。1.点电荷间的相互作用能

由n个点电荷组成的系统，其相互作用能（电势能）为Vi是除qi外的其它所有电荷在qi

所在处产生的电势。2.电荷连续分布时的静电能

以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元dV从无穷远处迁移到物体上，系统的静电能为是体电荷元处的电势。(互能、自能）同理，面分布电荷系统的静电能为：电荷连续分布时的静电能3.静电场的能量平板电容器的能量电能贮藏在电场中，静电场能量的体密度为任一带电体系的总能量

静电场的能量当电荷连续分布时，求静电能量有三个公式思考：分别说明这三个公式的物理意义,并以平行板电容器为例，分别用上列三个公式计算它在电容为C、蓄有电荷量为Q时的静电能量.一个个电荷移到一起互能和自能电场能量密度能量例

如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-e

静电场的能量解一相邻两顶点间的距离为d，八个顶点上负电荷分别与相邻负电荷的相互作用能量共有12对，即；面对角线长度为。6个面上12对对角顶点负电荷间的相互作用能量是；立方体对角线长度为，4对对角顶点负电荷间的相互作用能量是；立方体中心到每一个顶点的距离是，故中心正电荷与8个负电荷间的相互作用能量是

静电场的能量所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为

解二任一顶点处的电势为

静电场的能量

在体心处的电势为按式可得这个点电荷系的总相互作用能为结果与解一相同.

静电场的能量例

求半径为R

带电量为Q的均匀带电球的静电能。解一：计算定域在电场中的能量球内r处电场

静电场的能量解二：计算带电体系的静电能再聚集这层电荷dq，需做功：而所以球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷

静电场的能量解法三:用静电能量的公式

这里电势U是在电荷己分布完毕，空间各点确定的电势，都不再随时间变化.根据对称性和高斯定理得RrQ球内离球心r处的电势为由此则得例题

一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为±Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为ε0）。板极上带电±Q时所储的电能为解（1