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文档简介

由于初等函数由基本初等函数经四则运算和复合运算构成，而微积分以极限为工具研究初等函数，故在微积分中主要讨论极限的四则运算和复合运算。由极限与无穷小的关系，极限运算的讨论可归结为无穷小运算的讨论。本节概要第五节极限的运算法则Contents极限运算法则1求极限方法举例2复合函数求极限3一、极限运算法则定理1注①此定理对于数列同样成立②(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数③(2)有两个重要的推论推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2④定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为0⑤定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商定理2证由定理1(1),由保号性定理,即故有有

注意应用四则运算法则时,要注意条件:参加运算的是有限个函数,它们的极限商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算,因为不是数,它是表示函数的一种性态.都存在,二、求极限举例解例

小结则有则有

x=3时分母为

0

例3.解例

消去零因子法再求极限.

方法分子,分母的极限都是零.

先约去不为零的无穷小因子解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,例得例解抓大头法分子,分母的极限均为无穷大.

方法先用去除分子分母,分出无穷小,再求极限.先将分子、分母同除以x

的最高次幂,抓大头法再求极限.求有理函数当的极限时,

小结例解例解先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.使和式的项数固定,原式=不能用运算法则.

方法例解“根式转移”法化为型不满足每一项极限都存在的条件,不能直接应用四则运算法则.

分子有理化练习解原式=解原式=设函数是由函数与函数复合而成,有定义,若则有定理3(复合函数的极限运算法则))]([xgfy=)(ufy=)(xgu=)]([xgfy=三、复合函数求极限例.求交换函数运算和极限运算次序求极限

解例7.求解:方法

1则令∴原式方法

2四、小结极限求法：(1)多项式与分式函数代入法求极限;(2)消去零因子法求极限;（0/0型）（因式分解）(3)利用无穷小运算性质求极限;(4)利用通分方法求极限;（∞-∞型）(5)分子分母同除最大项(抓大头法)。（∞/∞型）(7)直接利用无穷大的概念判断;(6)根式转移法;(8)利用左右极限求分段函数极限.(9)利用夹逼定理;

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