第2章(23-26)交流电路(简)

2.3单一元件的正弦响应电阻元件的正弦响应电感元件的正弦响应电容元件的正弦响应电阻元件的正弦响应电压电流关系功率关系电压电流关系UmuiIm0t可见，电阻上的电压和电流为同频率的正弦量，二者同相。向量关系与向量图将电路图中电压与电流用向量代替画出向量图分析多个正弦量之间的相位关系时，通常选一个正弦量作为参考正弦量，即令初相为零。欧姆定律的复数表达式功率关系瞬时功率平均功率（有功功率）瞬时功率

瞬时功率的幅值等于UI，并以2频率发生变化且总有p

0。其波形如下图所示：

在任意瞬时，电压瞬时值u与电流瞬时值i的乘积，称为瞬时功率，用字母p表示。对于电阻元件

由于电阻元件的瞬时功率在任意瞬间（除过零点外）均为正值，则R消耗功率，起着负载的作用。平均功率（即有功功率）

在一个周期内，瞬时功率的平均值，称为平均功率,它表示电路实际消耗的功率，也称有功功率，用Ｐ表示．0uip例：一只100电阻接入50Hz、有效值为10V的电源上，问电流是多少？若频率改为5000Hz呢？

因电阻与频率无关，所以，电流不会因为频率的改变而改变。解电感元件的正弦响应电压电流关系功率关系例题分析电压电流关系瞬时值关系有效值关系——感抗的概念向量关系——复感抗与向量图瞬时值关系iuLu、i为同频率的正弦量，u在相位上超前i900有效值关系定义具有电阻的量纲感抗感抗的性质电流的阻碍能力为零―对直流相当于短路。电流的阻碍能力为无穷大―对高频交流相当于开路。电感元件的感抗与频率成正比。相量关系iuLL画出相量图：复感抗欧姆定律复数表达式电压、电流相量关系：功率关系瞬时功率p有功功率P无功功率Q瞬时功率

知道了电压u和电流i的变化规律及相互关系后，便可找出元件瞬时功率的变化规律

可见，p是以幅值为UI、角频率为2变化的交变量。瞬时功率

当u

与

i

的瞬时值为同号时，p

0，电感元件取用功率(为负载)，磁能增加；当u

与

i

的瞬时值为异号时，p0，电感元件发出功率(相当于电源)，元件的磁能减少。有功功率P电感元件不消耗功率无功功率

由于电感元件在电路中没有能量损耗，只与电源间进行能量交换，其能量交换的规模我们用无功功率Q表示:为了与有功功率有所区别,无功功率Q的单位为乏(Var)或千乏(kVar).规定无功功率为瞬时功率p的幅值UI，即例题分析

一电感交流电路，L=100mH，f=50Hz，已知：求电压u;

求电流

i

。解并画相量图。

由题知，感抗为

XL=

L=2×50×0.1=31.4则由相量形式的欧姆定律知：L瞬时值(2)电流为相量图为：

例3：指出下列各式哪些是对的，哪些是错的?电容元件的正弦响应电压电流关系功率关系例题分析电压电流关系瞬时值关系有效值关系——容抗的概念向量关系——复容抗与向量图瞬时值关系iuC电流与电压为同频率的正弦量，在相位上电流超前电压90°其中：i20u有效值关系定义具有电阻的量纲容抗容抗的性质电流的阻碍能力为无穷大―对直流相当于开路电流的阻碍能力为零―对高频交流相当于短路。电容元件的容抗与频率成反比。向量关系iuCC画出相量图：复容抗欧姆定律的复数形式功率关系瞬时功率p有功功率P无功功率Q瞬时功率

由上式可见，p是一个幅值为UI，并以2的角频率随时间而变化的交变量，其变化波形如下图所示。

P>0储能；P<0放能有功功率电容元件不消耗功率无功功率

电容元件不消耗电能,只与电源之间进行能量交换,其能量交换的规模我们用无功功率Q表示:为与电感元件的无功功率进行比较，我们也设电流初相为0，即：由此可见，电容元件的无功功率即电容性无功功率是负值。例题分析

例1：把一个25μF的电容元件接到频率为50Hz，电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改为5000Hz，这时电流将为多少？iuC解：当

f=50Hz时当

f=5000Hz时

可见，在电压有效值一定时，频率愈高，则通过电容元件的电流就愈大。例2：在图示正弦交流电路中，已知表Ａ的读数为Ｉ=5A，表Ａ１的读数Ｉ1=4A，试求电路中表Ａ２的读数Ｉ2=？因为两条支路元件性质相同，所以，电流同相。因为两条支路元件性质相同，所以，电流同相。元件电路符号ｕｉ关系

关系复数欧姆定律向量图RLC小结（电压电流关系）RiuiuCiuL小结（功率关系）元件电路符号UI关系有功功率P无功功率QRU=RIUI=RI2=U2/R0LU=XLI0UI=XLI2=U2/XLCU=XCI0-UI=-XCI2=-U2/XCRiuiuCiuL2.4R、L、C串联电路

的正弦响应电压电流关系阻抗与复阻抗功率与功率因数例题分析电压电流关系iuuLLuRuCRC瞬时值关系由KVL得：电压电流关系

同频率的正弦量相加，得出的仍为同频率的正弦量。

—KVL的相量表达式相量关系电压电流关系通过相量图计算由电压相量组成一个直角三角形，称为电压三角形，利用这个电压三角形，可求得电源电压的有效值。与电流间的相位差电压超前于电流电压电流关系电压三角形阻抗与复阻抗由定义：阻抗具有电阻的量纲，它对电流起着阻碍的作用阻抗阻抗与复阻抗阻抗三角形阻抗与复阻抗定义仍具有电阻的量纲。电抗欧姆定律的复数表达式与电路元件参数有关，其值决定了电路的性质。电抗电抗复数形式的欧姆定律讨论

在RLC串联电路中，当R0时，感抗XL与容抗XC的大小对电路性质的影响。

电路端电压超前电流角。在这种电路中电感的作用比电容的作用大，电路呈感性。UL>UC讨论UL<UC电路端电压滞后电流角。在这种电路中电容的作用比电感的作用大，电路呈容性。讨论

由于电路中感抗的作用和容抗的作用相互抵消，总电压和总电流同相，电路呈纯电阻特性，这种现象称为谐振。XL=XCX=XL-XC=0UL=UC，串联电路的等效复阻抗

对于串联交流电路，其总的等效复阻抗等于各元件复阻抗的代数和，即：uiZ1Z2Z3注意：复阻抗不是相量，它没有对应的正弦量，仅仅是个复数计算量，字符上面不打点。瞬时功率瞬时功率消耗或吸收功率释放功率有功功率P只有电阻消耗功率无功功率Q视在功率可见：有功功率和无功功率分别与R和X对应，即：电阻消耗功率，电抗交换功率。定义视在功率单位为伏安（VA）或（KVA）视在功率

由视在功率、有功功率和无功功率也可以组成一个三角形,其图形如下

视在功率也称为设备的容量。功率三角形电压、阻抗、功率为相似直角功率因数iuuLLuRuCRC例：

40Ω电阻与一电阻为20Ω、电感为250mH的电感线圈和28μF的电容器相串联后，外接220V，50Hz的正弦交流电源，如图所示。求该电路的电流和各元件的电压，设电压的初相为零，画出相量图并写出各电压、电流的瞬时值表达式；求有功功率P和无功功率Q。分析

求该电路的电流和各元件的电压。设电压的初相位为零画出相量图并写出各电压电流的瞬时值表达式；求P和Q。向量表示RiuLuRuCRCuRＬ例题分析例题分析因为题中已设电压初相为零例题分析同理注意：并联交流电路的分析计算并联电路总的等效复阻抗例3.求下图电路中，A0和V0的读数。克格勃A0V1A1-j1010A100V-jXCj55V0克格勃A0V1A1-j1010A100V-jXCj55V0解：以u1为参考相量画相量图，如右下图电感支路的电流：即V0的读数为141.4V。2.5正弦交流电路的频率响应频率特性的概念和定义RLC电路的频率特性频率特性的概念和定义

如果电源的频率发生变化，则上述各量都会发生变化，我们称各电量随频率发生变化的关系曲线为频率特性。

对于线性电路，当激励（输入）为正弦量，稳态时，响应（输出）亦为同频率的正弦量。激励响应频率特性的定义X恒定f：0→∞Y和y随f变化线性电路频率特性的定义定义:频率特性幅频特性相频特性

谐振的定义：在含有电感电容元件的电路中，如果满足某种条件使电路的总电压和总电流同相，整个电路呈电阻性，cos=1，我们把电路的这种状态称为谐振状态（简称谐振）。RLC电路的频率特性

每一个电路都有自己的频率特性，而且，在不同的激励和响应下，其频率特性也不相同。在RLC串联电路中，最具特色的频率特性是电压与电流之间的频率特性。串联谐振并联谐振串联谐振RLC串联谐振的条件：RLCui或电源电压u与电路中的电流i同相，电路发生谐振谐振条件——谐振频率——谐振角频率

由此可见，要使电路达到谐振可以通过调节电路参数和电源频率来实现。如：调节L、C或电源的频率f。RLC串联谐振的特点因为串联谐振发生在XL=XC处，所以，谐振时电路的阻抗最小，呈电阻性。由于阻抗最小，所以，在电压有效值一定时，电路中电流将达到最大值。如果电路中电阻很小，则总电流会很大。如果由于电感上的电压和电容上的电压远远大于电源电压，所以，我们称串联谐振为电压谐振。注意：电力工程中应避免串联谐振的发生为了衡量电路中元件电压比电源电压高出的倍数，我们引入了品质因数Q这个物理量。定义:

可见，Q值越高，电容（电感）元件两端的电压就比电源电压高得越多。R越小，Q值就越大。

谐振时，电路呈电阻性。所以，电源供给的能量全部被电阻消耗，电路中，cosφ=1，电路和电源之间没有能量的交换，电路中能量的交换只在电感与电容之间进行。画出电路的幅频特性如下设：U的大小一定，则I()曲线见右图所示。串联谐振的应用

串联谐振在无线电工程中应用广泛，利用谐振的选频性对所需频率的信号进行选择和放大,而对其它不需要的频率加以抑制。为通频带上限截止频率下限截止频率谐振选频的说明收音机的调谐接收电路L1LC0.707I0I0

f下

f0f上fI0I0

f下

f0f上fQ大Q小

无线电信号经天线接受，由L1耦合到L上。调节电容C，对所需频率信号发生串联谐振，则其输出端信号最强，而没有选中的频率信号则尽量的加以抑制削减，从而达到选择信号的目的。Q值越大，谐振曲线越尖锐，选择信号的能力就越强。等效电路LCe2e0e1f2f0f1R并联谐振电容器与线圈的并联电路，其等效阻抗为RLCuiiCiL通常线圈电阻很小，谐振时一般有L>>R，则上式为上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为即与串联谐振频率公式相同并联谐振的特征(1)由复阻抗公式谐振时电路的阻抗为达到最大值，比非谐振时要大。在电源电压一定的情况下，电路中的谐振电流有最小值。即例如：若已知C=0.02μF，L=20μH，R=0.5Ω，可见，在一个只有0.5Ω电阻的LC并联电路中，谐振时呈现出2000Ω的阻抗。(3)各并联支路电流为(2)电路的总电压与总电流同相(=0)；因此，并联谐振也称电流谐振IL或

IC与总电流I0的比值为并联谐振电路的品质因数且当时，(4)当LC并联电路由电流源供电时，由于电路谐振时阻抗最大，则得到的谐振电压也最大；而在非谐振时，电路端电压较小。这种特性也具有选频作用，且Q越大选频作用越强。电压源供电并联谐振曲线电流源供电并联谐振曲线RLCiSiCi12.6功率因数的提高功率因数提高的意义提高功率因数的方法应用举例功率因数提高的意义（1）使电源容量得到充分利用（2）减小输电线上的电压降和功率损耗，提高输电效率

当电源电压U和输送的有功功率P一定时，若cosφ低，则输电线上的电流就大。由于输电线本身具有阻抗，因此，将导致输电线路上阻抗压降增大，同时输电线路上的功率损耗也增加。若提高电路功率因数的方法

通常情况下，供电系统的功率因数低主要是由于电感负载造成的。而电感负载的电流滞后电压，使电路中存在一个滞后电压900的无功电流分量。因此，提高电路（而非负载）功率因数的方法：是在电感负载两端并联电容器产生一个超前于电压90o的无功电流分量，以补偿滞后电压90o的无功电流分量，使线路上的总电流减小。并联电容器提高功率因数的分析与计算如图为电感性负载其功率因数为：cosφ1，为了将电路的功率因数提高到cosφ2，并联电容C。画相量图

从相量图可见，并联电容器后，总电流由原来的IRL变成了I，其模值减小了，而且与电压的相位差也由原来的φ1减小为φ2，则cosφ2>cosφ1但是必须注意

（1）并联电容器前后，原负载支路的工作状态没有任何变化，负载电流仍然是IRL，原感性负载的功率因数仍然是cosφ1。因此，提高功率因数是就整个电路对原电路而言的。

（2）线路总电流的减小是由于并联电容后总电流的无功分量减小的结果。而电流的有功分量在并联电容前后并无改变。

因此，若需将电路的功率因数从cosφ1提高到cosφ2，就可以从相量图中求出所需要的并联电容的大小。

从相量图上可见应用举例

例1.单相感应电动机接到50Hz，220V供电线上，吸收电功率700W，功率因数cos1=0.7。今并联一电容器以提高电路的功率因数至0.9，求所需电容。解：因为U=220V可选用耐压为500V、电容量为25F的电容器。求出未补偿时的电流I1和补偿后的电流I2

如下

如果再将功率因数提高到1，则有：

可见，当功率因数较高时，要再提高功率因数，则所需要的电容量并不小，提高功率因数的效率不高，通常并不须要把电路的功率因数提高到1。交流电路分析计算举例R1=3ΩR2=8ΩXL=4ΩXC=6Ω求：（1）i、i1、i2（2）P解:(1)已知R1R2jXL-jXC总电流I

也可以这样求：R1R2jXL-jXC（2）功率P的计算R1R2jXL-jXCP=UIcos=220×49.2cos26.5o=9680WP=I12R1+I22R2=442×3+222×8=9680WP=UI1cos53o+UI2cos（-37o）=9680W方法1方法2方法3例题电路如图所示，已知R=R1=R2=10Ω，L=31.8mH，C=318μF，f=50Hz，U=10V，试求（1）并联支路端电压Uab；（2）求P、Q、S及COSXL=2πfL=10Ω解：Z1=10＋j10ΩZ2=10－j10Ω+-uRR2R1CL+--uabab+-R+--Z1Z2abＰ＝ＵIcos=10×0.5×1