第11章 弯曲内力

第四章弯曲内力

火车轮轴第四章弯曲内力

§4—1平面弯曲的概念

弯曲：在通过轴线纵向平面内，受到垂直于杆轴线的外力(横向力)或外力偶作用，杆的轴线将弯曲成一条曲线。梁：以弯曲为主要变形的构件。纵向对称面：通过梁轴线和横截面对称轴的平面。

qMPRARB平面弯曲:在多数情况下，作用于梁上的载荷均垂直于梁的轴线，并在纵向对称面内，在这样的载荷作用下，梁的轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。qMPRARB平面弯曲（1）梁有一个纵向对称面；（2）外力作用在纵向对称面内；（3）梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线1分布载荷q2集中载荷F3集中力偶

M梁的受力特点：受到横向力作用。梁的变形特点：梁的轴线由直线弯成了曲线。§4–2梁的计算简图一、几何结构的简化二、载荷的简化

三、约束的简化四、静定梁及其分类1、简支梁，2、外伸梁，3、悬臂梁1可动铰2固定铰3固定端FFXFYYXM吊车大梁简化均匀分布载荷.简称均布载荷火车轮轴简化§4–3剪力和弯矩

一、符号规则FFFFFQ(+)FFFFFQ(-)‘左顺右逆,弯矩为正’左,右—外力的作用点相对于截面的位置.顺,逆--外力对截面形心取矩的转向.M(+)M(-)(1)剪力的符号规则(2)弯矩的符号规则例题：求图示悬壁梁C截面上的内力。

二、用截面法求内力的讨论1、关于Q、M的符号问题

2、用截面法计算内力的规律横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上外力的代数和。截面左侧向上外力，或右侧向下外力，产生正的剪力；反之产生负的剪力。横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上外力对该截面形心之矩的代数和。向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩；截面左侧顺时针转向的力偶,和截面右侧逆时针转向的力偶产生正值弯矩,反之产生负值弯矩。可记为：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正；

外力向上,弯矩为正。例题：求图示梁中A,B,C,D,E,F,G各截面上的内力。§4–4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图一、内力方程二、内力图

已知:F,l

求:FQmax和

Mmax解:1剪力方程和弯矩方程

FQ(x)=-F(0≤x≤l)

M(x)=-Fx(0≤x≤l)

FQmax=F

Mmax=FlxyxlFAB0-FlxM(-)0F(-)xFQ2作剪力图和弯矩图已知:q,l

求:Qmax和Mmax由对称性2剪力方程和弯矩方程3作剪力图和弯矩图

x

Q

M

qxylxABFAFB解:1支反力xQ0(-)(+)xM0(+)0l00

0已知:F,l,a<b

求:FQmax和Mmax

解:1支反力2剪力方程和弯矩方程

AC(0≤x1≤a)3作剪力图和弯矩图CB(a≤

x2≤

l

)xM0(+)xQ0(+)(-)Fxylx1ABBabFAFBx2C故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突变值的大小等于该集中力的大小。

从Q图可看C截面：

剪力图在C截面发生一突变，其大小为：。从M图可看出，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，其值为：。已知:m,l,a<b

求:Qmax和Mmax2剪力方程和弯矩方程

AC(0≤x1≤a)3作剪力图和弯矩图CB(a≤x2≤l

)mxylx1ABBabFAFBx2CxQ0(+)xM0(-)(+)解:1支反力xQ0(+)xM0(-)(+)弯矩图在C截面发生一突变，其大小为：。由此可得出结论：在集中的偶作用处，弯矩图上发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。

对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。

从M图可看出，在C截面：

§4–5剪力、弯矩和载荷集度间的关系一、三者之间的微分关系ΣFY=0,

Q(x)-[Q(x)+dQ

(x)]+q(x)dx=0

ΣMo=0,剪力对x的一阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。

弯矩对x的一阶导数等于梁上相应位置上的剪力。

弯矩对x的二阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。

根据上面三个关系式，对正确绘制剪力图和弯矩图有很大帮助。下面来分析一下绘剪力图和弯矩图时常见的几种情况。二、微分关系在内力图上的应用1.在梁某一段内无荷载作用。在该段内剪力图必是一平行于x轴的直线。常数，常数，M(x)是x的一次函数。

M(x)=ax+b在该段内弯矩图必是一斜直线。Q>0，M图（ ）Q<0，M图（

）

2.

在梁某一段内作用着均布荷截。

在该段内剪力图必是一斜直线。q(x)向上，Q图（ ）q(x)向下，Q图（

）

q(x)=常数，常数，Q(x)

是x的一次函数。

Q(x)=ax+b

M(x)是x的二次函数，该段内弯矩图是抛物线。

当时（q(x)向上），弯矩图下凸。

()当时（q(x)向下），弯矩图上凸。

()M(x)=ax2+bx+c3.

在梁某一截面上Q(x)=0。

，说明弯矩图在该截面的斜率为零，也就是说该截面上的弯矩具有极值。

当时，M具有极大值；

当时，M具有极小值。

qxylxABFAFBxQ0(-)(+)xM0(+)

4.在集中力作用处，Q图有突变，变化量等于该集中力，弯矩图斜率在此处有突变。

在集中力偶作用处，M图有突变，变化量等于该集中力偶，Q图在该处无变化。

xM0(+)xQ0(+)(-)Fxylx1ABBabFAFBx2Cmxylx1ABBabFAFBx2CxQ0(+)xM0(-)(+)

5.

对整根梁而言，不但可能发生在Q=0

的截面上，也有可能发生在集中力或集中力偶作用处。

6.

M=0处:无集中力偶作用的端面铰或自由端.xM0(+)xQ0(+)(-)Fxylx1ABBabFAFBx2Cmxylx1ABBabFAFBx2CxQ0(+)xM0(-)(+)解（一）求支座反力

由平衡条件得：RA=7KN，R0=9KN。

例

绘图示梁的剪力图和弯矩图。

例5图由梁A端开始。由于A处有向上支座反力RA=7KN，Q图由零向上突变，突变值为RA=7KN。由于AB段内无分布荷载，所以AB段的剪力图为一水平直线，并从A点一直延伸到B点稍偏左截面处。（二）作剪力图

由于B处有向下集中力P1的作用，Q图上向下有一突变，突变值为P1=-10KN，所以B右段面的剪力值为：

BC段内无分布荷载，所以BC段的剪力图为一水平线，并从B右一直延伸到C点。

由于CD段有向下的均布荷载作用，即q(x)=-2KN/m（常数），所以该段Q图为一下降的斜直线。

C、D两截面的剪力之差等于荷载在该段之和，即-2×2=-4KN，所以D左截面的剪力值为：

D处有向上支座反力RD作用，剪力图在D处有突变，突变值就是RD=9KN。D右处的剪力为：

DE段内无荷载作用，剪力图为一水平线，从D右一直延伸到E左。

在E处有集中力P2向下作用，Q图又回到零。

全梁的Q图见图示。

由于A为铰支座，又没有集中力偶作用，所以MA=0；弯矩从零开始在AB段内Q=7KN>0，所以M为一上升斜直线。

B、A两截面的弯矩之差即为剪力图（AB段）的面积。即（三）作弯矩图

在BC段内剪力为常数Q=-3KN，所以M为一下降斜直线。C左、B两截面弯矩之差等于BC段剪力图的面积，即

C处有集中力偶作用，弯矩图在C处有突变，突变值就是，所以C右截面的弯矩为

在CD段内，由于q(x)=-2KN/m，所以M图在该段为一上凸的二次曲线。D、C右截面的弯矩之差就等于该段剪力图的面积，即：

DE段内Q=2KN>0，所以M为一上升斜直线。由于E处为自由端，又没有集中力偶作用，故E处的弯矩ME=0。全梁的M图见图示。用叠加法作弯矩图qF=+叠加原理:qFlx例如图示悬臂梁总弯矩总弯矩q单独作用P单独作用表1常见受载情况的梁的弯矩图