高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．6曲线与方程 第2章doc

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．如图2­6­2所示，方程y＝eq\f(|x|,x2)表示的曲线是________．图2­6­2【解析】y＝eq\f(|x|,x2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x＞0，,－\f(1,x)，x＜0，))所以图②满足题意．【答案】②2．方程(x＋y－1)eq\r(x－y－3)＝0表示的曲线是________．【解析】方程(x＋y－1)eq\r(x－y－3)＝0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－3≥0，,x＋y－1＝0，))或x－y－3＝0.即x＋y－1＝0(x≥2)或x－y－3＝0，故方程(x＋y－1)eq\r(x－y－3)＝0表示射线x＋y－1＝0(x≥2)和直线x－y－3＝0.【答案】射线x＋y－1＝0(x≥2)和直线x－y－3＝03．条件甲“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则甲是乙的________条件．【解析】在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．【答案】必要不充分4．在平面直角坐标系中，方程|x2－4|＋|y2－4|＝0表示的图形是________．【解析】易知|x2－4|≥0，|y2－4|≥0，由|x2－4|＋|y2－4|＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,y2－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝±2，,y＝±2，))表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点．【答案】(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点5．下列命题正确的是________(填序号)．①方程eq\f(x,y－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；②△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0；③到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；④曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.【解析】对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y≠2；②中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有④是正确的．【答案】④6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).【导学号：09390057】①y＝eq\r(x)与y2＝x；②y＝x与eq\f(x,y)＝1；③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lgx2与y＝2lgx.【解析】①中y＝eq\r(x)时，y≥0，x≥0，而y2＝x时，x≥0，y∈R，故不表示同一曲线；②中eq\f(x,y)＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．【答案】③7．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.【解析】由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.【答案】58．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线是________(填序号)．①过点P且垂直于l的直线；②过点P且平行于l的直线；③不过点P但垂直于l的直线；④不过点P但平行于l的直线．【解析】点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．【答案】②二、解答题9．分析下列曲线上的点与方程的关系．(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程y＝x2的关系；(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．【解】(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y＝x2.(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程．10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－2eq\r(5)，2)是否在这个圆上．【解】①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝5，也就是xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝25，两边开方取算术平方根，得eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－2eq\r(5)，2)代入方程x2＋y2＝25，左右两边不相等，(－2eq\r(5)，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．[能力提升]1．已知0≤α<2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．【解析】由(cosα－2)2＋sin2α＝3，得cosα＝eq\f(1,2).又0≤α<2π，∴α＝eq\f(π,3)或eq\f(5π,3).【答案】eq\f(π,3)或eq\f(5π,3)2．方程(x2＋y2－4)eq\r(x＋y＋1)＝0的曲线形状是____________(填序号)．图2­6­3【解析】由题意可得x＋y＋1＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x＋y＋1≥0，))它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．【答案】③3．由方程(|x|＋|y|－1)(x2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．【解析】表示的曲线为|x|＋|y|＝1，其图形如图所示，为一正方形，S＝(eq\r(2))2＝2.【答案】24．已知点P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(