高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 省赛获奖

1．定积分的概念1．了解定积分的概念．2．会用定义求一些简单的定积分．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．定积分的概念：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式eq\i\su(i＝1,n,)f(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积，记作f(x)dx，即f(x)dx＝eq\i\su(i＝1,n,)_eq\f(b－a,n)f(ξi)．其中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质．(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．想一想：直线x＝0,x＝π，y＝0与曲线y＝sinx所围成的图形的面积用积分表示为sin_xdx．想一想：用定积分表示下图中阴影部分的面积．答案：S＝f1(x)dx－f2(x)dx想一想：定积分x3dx的取值的符号为正，x3dx的取值的符号为负，x3dx的取值的符号为0．eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．当a<b，且f(x)>0，则f(x)dx的值(A)A．一定是正的B．一定是负的C．当0<a<b时是正的，当a<b<0时是负的D．正、负都有可能解析：由定积分的几何意义知，当a<b，且f(x)>0时，f(x)dx>0.2．下列等式不成立的是(C)A.[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dxB.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dxxdx＝sinxdx＋sinxdx解析：利用定积分的性质进行判断，C不成立．例如xdx＝eq\f(1,2)，x2dx＝eq\f(1,3)，x3dx＝eq\f(1,4).但x3dx≠xdx·x2dx.3．计算：eq\r(16－x2)dx＝(C)A．8πB．16πC．4πD．32π解析：eq\r(16－x2)dx表示以原点为圆心，半径为4的eq\f(1,4)圆的面积，∴eq\r(16－x2)dx＝eq\f(1,4)π·42＝4π.eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．定积分f(x)dx的大小(A)A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]及ξi的取法无关C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关2．下列结论中成立的个数是(C)①x3dx＝eq\i\su(i＝1,n,·)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)②x3dx＝eq^\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(（i－1）3,n3)·eq\f(1,n)③x3dx＝eq^\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)A．0B．1C．2D．3解析：由定积分的定义知，②、③成立，故选C.3．(2023·高考陕西卷)定积分(2x＋ex)dx的值为(C)A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)f0＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e，故选C.4.eq\r(4－x2)dx＝________．解析：积分eq\r(4－x2)dx表示如下图所示的圆的面积的eq\f(1,4).所以S＝eq\f(1,4)π(2)2＝π.答案：πeq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．定积分(－3)dx等(A)A．－6B．6C．－3D．3解析：3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，(－3)dx＝－3dx＝－6.故选A.6．设a＝xeq\s\up6(\f(1,3))dx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是(B)A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＝b＞cD．a＞c＞b解析：根据定积分的几何意义，易知x3dx＜x2dx＜xeq\s\up6(\f(1,3))dx，即a＞b＞c，故选B.7．(2023·天津高二检测)曲线y＝eq\f(1,x)与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为_____________________．解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－eq\f(1,x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx8．设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))则f(x)dx＝__________．解析：∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))∴f(x)dx＝(x＋1)dx＋(－2x＋4)dx.又由定积分的几何意义得(x＋1)dx＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，(－2x＋4)dx＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴f(x)dx＝eq\f(3,2)＋1＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)9．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．(1)x2dx＋x2dx；(2)(1－x)dx＋(x－1)dx.解析：(1)原式＝x2dx，如下图(1)所示．(2)(1－x)dx＋(x－1)dx＝|1－x|dx，如图(2)所示．10．计算定积分：[eq\r(1－（x－1）2)－x]dx.解析：[eq\r(1－（x－1）2)－x]dx＝eq\r(1－（x－1）2)dx－xdx，令S1＝eq\r(1－（x－1）2)dx，S2＝xdx.S1、S2的几何意义如图(1)、(2)所示．对S1＝eq\r(1－（x－1）2)dx，令y＝eq\r(1－（x－1）2)≥0，则(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)由定积分几何意义知S