河北省承德市隆化县郭家屯镇中学2022年度高二数学理月考试卷含解析

河北省承德市隆化县郭家屯镇中学2022年度高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（） A．假设三内角都不大于60度 B． 假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D． 假设三内角至多有两个大于60度参考答案：B2.设是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“开心点”，也称在区间上存在开心点.若函数在区间上存在开心点，则实数的取值范围是（

）

参考答案：C3.设连续函数，则当时，定积分的符号A、一定是正的

B、一定是负的C、当时是正的，当时是负的参考答案：C4.已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左边一支C．一条射线 D．双曲线右边一支参考答案：C【考点】双曲线的定义．【专题】数形结合．【分析】由于动点P满足|PM|﹣|PN|=4|=|MN|，那么不符合双曲线的定义（定义要求||PM|﹣|PN||＜|MN|），则利用几何性质易得答案．【解答】解：因为|MN|=4，且|PM|﹣|PN|=4，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C．【点评】本题考查双曲线定义．5.在三棱锥E-ABD中，已知，，三角形BDE是边长为2的正三角形，则三棱锥E-ABD的外接球的最小表面积为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用外接球的球心的性质可确定出球心的位置，再根据半径满足的不等式组得到半径的最小值，从而可得外接球的最小表面积.【详解】如图，取的中点，因为，所以球心在过且垂直于平面的直线上.设该直线为，设的中心为，则平面，因平面，所以，在中，有，在中，有，故，当且仅当重合时等号成立，所以三棱锥的外接球的最小表面积为.【点睛】三棱锥外接球的球心，可以通过如下方法来确定其位置：选择三棱锥的两个面，考虑过这两个三角形的外心且垂直于各自所在平面的垂线，两个垂线的交点就是外接球的球心，解题中注意利用这个性质确定球心的位置.6.若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是()A．－3

B．－

C．3

D.参考答案：B7.已知都是实数,则“”是“”的（▲）条件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：D略8.设直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为45°，若直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线l的方程为，联立，得5x2﹣8+8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出|AB|．【解答】解：∵直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为45°，∴直线l过点F（，0），斜率k=tan45°=1，∴直线l的方程为，联立，得5x2﹣8+8=0，﹣160=32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|==．故选：D．【点评】本题考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．9.已知，由不等式…….,可以推出结论：=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

(

)(A)

(B)

(C)3

(D)4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.随机变量X服从二项分布X～，且则等于（

）A.

B.

C.1

D.0

参考答案：B12.设F1，F2为双曲线的两个焦点，已知点P在此双曲线上，且．若此双曲线的离心率等于，则点P到y轴的距离等于

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的方程，利用余弦定理、等面积求出P的纵坐标，代入双曲线方程，可得点P到y轴的距离．【解答】解：∵双曲线的离心率等于，∴，∴a=2，c=．设|PF1|=m，|PF2|=n，则由余弦定理可得24=m2+n2﹣mn，∴24=（m﹣n）2+mn，∴mn=16．设P的纵坐标为y，则由等面积可得，∴|y|=2，代入双曲线方程，可得|x|=2，故答案为2．13.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；

④49=18+31；⑤64=28+36

参考答案：③,⑤略14.若，，则

参考答案：略15.已知数列的前项和，则数列的通项公式为____________。参考答案：略16.已知且，则的最小值为________________.参考答案：4略17.函数的单调增区间为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；(3)在(2)的条件下，证明直线与轴相交于定点．

参考答案：解：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．………4分⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

①联立消去得：，……..6分由得，……….7分又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．……….9分⑶设点，则，直线的方程为令，得，将代入整理，得．

②…………….12分由得①代入②整理，得，所以直线与轴相交于定点．……….14分19.最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票。据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险小，应该将10万元全部用来买基金.据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能亏损10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、.第三种方案：李师傅的妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%。针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.参考答案：解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分配分布列为

…

2分

E（ξ）=4×+（-2）×=1

…

3分

若按方案二执行，设收益为万元，则其分配分布列为 20-1P

…5分

E（）=2×+0×+（-1）×=1.

…

6分

若按方案三执行，收益

y=10×4%=0.4（万元）.

…

8分

又E(ξ)=E()>y,

D(ξ)=9×+9×=9

D()=1×+1×+4×=.

由上知D(ξ)>D(),这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳妥，所以，建议李师傅家选择方案二投资较为合理.

…12分20.（本题满分12分）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，两家商场对购买该商品的顾客奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为20°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球2个红球1个黄球的盒子中一次性随机地摸出2个球，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？参考答案：设甲、乙商场中奖的事件分别为，则

……4分

对乙商场：设三个白球分别为、黄球为、二个红球分别为，从盒中随机地摸出个球的结果共种：………8分其中是2个红球的结果共种，………………10分，即在购买该商品的顾客在甲商场中奖的可能性大。……12分21.已知等差数列{an}满足．（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足,求{bn}的前n项和Tn．参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.【详解】解：（1）设的公差为，则由得,故的通项公式，即．（2）由（1）得．设的公比为，则，从而，故的前项和．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.22.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为