高中数学北师大版2第一章统计案例单元测试 章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①回归分析②独立性检验③相关系数④相互独立事件,回归分析分析两个变量线性相关的常用方法：(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：年龄/周岁3456789身高/cm年龄/周岁10111213141516身高/cm(1)年龄和身高之间具有怎样的相关关系？(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？(3)如果身高相差20cm，其年龄相差多少？【精彩点拨】本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．【规范解答】(1)设年龄为x，身高为y，则eq\x\to(x)＝eq\f(1,14)(3＋4＋…＋15＋16)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(1,14)＋＋…＋＋≈7，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1491，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝252，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi＝18，14eq\a\vs4\al(\x\to(x))eq\a\vs4\al(\x\to(y))≈17，∴eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－14(eq\x\to(x))2＝，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－14(eq\x\to(y))2≈9，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi－14eq\a\vs4\al(\x\to(x))eq\a\vs4\al(\x\to(y))＝1，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi－14\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－14\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－14\x\to(y)2))＝eq\f(1,\r×\r(9)≈7.因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．(2)由(1)得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi－14\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－14\x\to(x)2)＝eq\f(1,≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝7－×≈72，∴x与y的线性回归方程为y＝＋72.因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差×5＝(cm)．(3)如果身高相差20cm，年龄相差eq\f(20,≈≈3(岁)．[再练一题]1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，提到如下数据：单价x(元)89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】(1)由于eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝80＋20×＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(33,4)))2＋.当且仅当x＝时，l取得最大值．故当单价定为元时，工厂可获得最大利润．,条件概率1．条件概率公式揭示了条件概率P(A|B)与事件概率P(B)、P(AB)三者之间的关系．下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是已知P(B)和P(AB)时去求出P(A|B)；另一种情况是已知P(B)和P(A|B)时去求出P(AB)．对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：若P(A)＞0，有P(AB)＝P(A)P(B|A)．2．乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求P(AB)时，必须知道P(A|B)或P(B|A)；反之，要求P(A|B)时，必须知道积事件AB的概率P(AB)，在解决实际问题时，不要把求P(AB)的问题误认为是求P(A|B)的问题．盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【精彩点拨】要注意B发生时A发生的概率与A，B同时发生的概率的区别．【规范解答】设事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：红球蓝球总计玻璃球246木质球3710总计51116由表知，P(B)＝eq\f(11,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)，故所求事件的概率为P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(4,16),\f(11,16))＝eq\f(4,11).[再练一题]2．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．【解】设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}．B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，C＝{从第二个盒子中取一个红球}，D＝{从第三个盒子中取一个红球}，则容易求得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，则P(C)＝eq\f(1,2)，P(D)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).显然，事件A∩C与事件B∩D互斥，且事件A与C是相互独立的，所以试验成功的概率为P＝P(A∩C)＋P(B∩D)＝P(A)·P(C)＋P(B)·P(D)＝eq\f(59,100)，所以本次试验成功的概率为eq\f(59,100).独立性检验独立性检验问题的基本步骤为：(1)找相关数据，作列联表．(2)求统计量χ2.(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度．考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．【精彩点拨】提出假设，根据2×2列联表求出χ2，从而进行判断．【规范解答】由已知得到下表：药物处理未经过药物处理总计青花病25185210无青花病60200260总计85385470假设经过药物处理跟发生青花病无关．根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝eq\f(470×25×200－185×602,210×260×85×385)≈.因为χ2＞，所以我们有%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．[再练一题]3．某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)．现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼与身高达标2×2列联表：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100(1)完成上表；(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系？(χ2值精确到参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).【解】(1)身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100(2)根据列联表得χ2＝eq\f(100×40×15－35×102,75×25×50×50)≈＜，所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系．1．已知变量x和y满足关系y＝－＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关【解析】根据正相关和负相关的定义进行判断．若线性回归方程的斜率为正，则两个变量正相关，若斜率为负，则负相关．因为y＝－＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝by＋a，b>0，则z＝by＋a＝－＋b＋a，故x与z负相关．【答案】C2．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)支出y(万元)根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．万元 B．万元C．万元 D．万元【解析】由题意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴a＝8－×10＝，∴当x＝15时，y＝×15＋＝(万元)．【答案】B3．根据如下样本数据x345678y－－－得到的回归方程为y＝bx＋a，则()A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【解析】作出散点图如下：观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，y＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】B4．图1­1是我国2023年至2023年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．图1­1注：年份代码1～7分别对应年份2023～2023.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到，预测2023年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))yi＝，eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))tiyi＝，eq\r(\o(∑,\s\up6(7))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝，eq\r(7)≈.参考公式：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))，回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\a\vs4\al(\x\to(t)).【解】(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得eq\x\to(t)＝4，eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up6(7))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝，eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))tiyi－eq\x\to(t)eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))yi＝－4×＝，∴r≈eq\f,×2×≈.因为y与t的相关系数近似为，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以