高中数学苏教版第二章平面向量向量的线性运算 2023版第2章

向量的线性运算2.1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.重点2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.重点、易错点3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.难点[基础·初探]教材整理1向量的加法阅读教材P63第1，2自然段及P64思考前的有关内容，完成下列问题．1.向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法．2.向量加法的运算法则(1)三角形法则：如图2­2­1，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，则向量eq\o(OB,\s\up15(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→)).图2­2­1(2)平行四边形法则：如图2­2­2，已知两个不共线的非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OC,\s\up15(→))＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线上的向量eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，如图．这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．图2­2­2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．()(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．()(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．()【解析】(1)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(2)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2向量加法的运算律阅读教材P63，完成下列问题．(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(3)a＋0=0+a＝a.(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.1．化简：eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝________.【解析】(eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))【答案】eq\o(AD,\s\up15(→))\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝________.【解析】eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0.【答案】0[小组合作型]向量的加法运算(1)在正六边形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AF,\s\up15(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up15(→))＝________，eq\o(AD,\s\up15(→))＝________，eq\o(AE,\s\up15(→))＝________.(2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝________.【精彩点拨】(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．(2)由向量加法的三角形法则求解．【自主解答】(1)如图，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→))＝a＋b.在平行四边形ABCO中，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AO,\s\up15(→))＝a＋a＋b＝2a＋\o(AD,\s\up15(→))＝2eq\o(AO,\s\up15(→))＝2a＋2b.而eq\o(FE,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＝a＋b，由三角形法则得：eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))＋eq\o(FE,\s\up15(→))＝b＋a＋b＝a＋2b.(2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝0.【答案】(1)2a＋b2a＋2ba＋2b(2)01．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．[再练一题]1.四边形ABCD是边长为1的正方形，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，eq\o(AC,\s\up15(→))＝c，作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|.【导学号：48582076】【解】如图，延长AC到E，使AC＝CE，则eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))，∴a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))，即eq\o(AE,\s\up15(→))为所求作的向量．∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(2)，∴|eq\o(AE,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2eq\r(2).故|a＋b＋c|＝2eq\r(2).利用向量证明几何问题在▱ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图2­2­3)．用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形．图2­2­3【精彩点拨】要证AECF是平行四边形，只要证eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(FC,\s\up15(→)).【自主解答】因为eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BE,\s\up15(→))，eq\o(FC,\s\up15(→))＝eq\o(FD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→)).因为FD＝BE，且eq\o(FD,\s\up15(→))与eq\o(BE,\s\up15(→))的方向相同，所以eq\o(FD,\s\up15(→))＝eq\o(BE,\s\up15(→)).所以eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BE,\s\up15(→))＝eq\o(FD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))，即eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(FC,\s\up15(→))，所以AE与FC平行且相等，所以四边形AECF是平行四边形．用向量证明几何问题的一般步骤：1要把几何问题中的边转化成相应的向量；2通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.[再练一题]2.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))＝Deq\o(O,\s\up15(→))，求证：四边形ABCD是平行四边形．【证明】如图，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))，又∵eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→)).即AB∥CD，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(DC,\s\up15(→))|，∴四边形ABCD是平行四边形．[探究共研型]向量加法在实际问题中的应用探究1速度、位移等物理量是向量吗？为什么？【提示】是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素．探究2利用向量加法解决实际问题的关键是什么？【提示】关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10km/h，问：(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)【精彩点拨】(1)结合向量共线知识求解；(2)借助三角形的边角关系求解．【自主解答】(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0km/h，此时小船是静止的．(2)如图所示，设eq\o(MA,\s\up15(→))表示水流的速度，eq\o(MN,\s\up15(→))表示小船实际过河的速度．设MC⊥MA，|eq\o(MA,\s\up15(→))|＝|eq\o(MB,\s\up15(→))|＝10，∠CMN＝30°.∵eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＝eq\o(MN,\s\up15(→))，∴四边形MANB为菱形．则∠AMN＝60°，∴△AMN为等边三角形．在△MNB中，|eq\o(BN,\s\up15(→))|＝|eq\o(MN,\s\up15(→))|＝|eq\o(MB,\s\up15(→))|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答.[再练一题]3．小雨滴在无风时以4m/s的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以3m/s的速度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？(提示：tan37°＝eq\f(3,4))【解】如图，设eq\o(OA,\s\up15(→))表示小雨滴无风时下落的速度，eq\o(OB,\s\up15(→))表示风的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则eq\o(OC,\s\up15(→))就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt△OAC中，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝4m/s，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝3m/s，所以|eq\o(OC,\s\up15(→))|＝＝5m/s.且tan∠AOC＝＝eq\f(3,4)，即∠AOC≈37°.所以小雨滴实际飞行速度为5m/s，方向约为南偏东37°.1．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，则a＋b＝________.【解析】a＋b＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→)).【答案】eq\o(AC,\s\up15(→))2．如图2­2­4所示，在平行四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝________.(填序号)①eq\o(AD,\s\up15(→))；②eq\o(DB,\s\up15(→))；③eq\o(BC,\s\up15(→))；④eq\o(CB,\s\up15(→)).图2­2­4【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→)).【答案】③3．在四边形中，若eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，则四边形ABCD一定是________．【解析】结合平行四边形法则可知，ABCD一定是平行四边形．【答案】平行四边形4.设a表示“向东走5km”，b表示“向南走5km”，则a＋b表示________.【导学号：48582077】【解析】如图所示，eq\o(AC,\s\up15(→))＝a＋b，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝5，且AB⊥BC，则|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝5eq\r(2)